ორი პირობა, ორი კოეფიციენტი
k+1 თავისუფალი კოეფიციენტის მქონე ფილტრი შეიძლება დააკმაყოფილოს ზუსტად k+1 პირობას მის ტრანსფერის ფუნქციაზე. ჰამინგმა ეს წარმოჩინა ყველაზე მარტივი არატრივიალური შემთხვევით: ორი კოეფიციენტი, ორი პირობა.
პირობები
- f = 1/6 დროს: H(1/6) = 1 (ეს სიხშირე უცვლელი გადის)
- f = 1/3 დროს: H(1/3) = 0 (ეს სიხშირე სრულად ჩერდება)
ფილტრის ფორმა
ფილტრი, რომელიც იყენებს ორ კოეფიციენტს a და b შეყვანით x_n და ერთი დაგვიანებით:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
საკუთარი ფუნქციის ჩანაცვლება
შეყვანა e^{i2πfn}, გამომავალი H(f) · e^{i2πfn}. მარჯვენა მხარე იძლევა:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
გაყავით e^{i2πfn}-ზე:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
ახლა გამოიყენეთ ორი პირობა ორი განტოლების მისაღებად ორი უცნობით.
კოეფიციენტების ამოხსნა
H(f) = a + b·e^{−i2πf}-ში f = 1/6-ის ჩანაცვლება:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
f = 1/3-ის ჩანაცვლება:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
ამ ორი განტოლებიდან ჰამინგმა ამოიხსნა a = 1/2, b = 1/2 — იგივე, რაც 3-ნიმუშის საშუალო (გამომავალი შუა პოზიციაზე).
სრული ფილტრი
ფილტრი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე პირობას, აქვს ფორმა:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
გამომავალი n პოზიციაზე იყენებს წინა, ამჟამინდელ, & შემდეგ შეყვანის ნიმუშებს.
ტრანსფერის ფუნქცია:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
დამოწმება:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
სხვა სიხშირეებზე: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (დღეგის გავლა გამაძლიერებლით), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
ინტუიცია: ციფრული ფილტრი აპროვებს პროგრამული უზრუნველყოფით იმას, რაც ანალოგური RC ფილტრი აპროვებს ხელმოწერაში. კოეფიციენტების არჩევანი აკონტროლებს სიხშირის რეაქციას ანალიტიკურად.
ტრანსფერის ფუნქცია მრავალ სიხშირეზე
ტრანსფერის ფუნქცია H(f) = cos(2πf) + 1/2 ვრცელდება ყველა სიხშირეზე, არა მხოლოდ ორ დიზაინის წერტილზე.
გიბსის აღმოჩენა
ჰამინგმა მიხელსონის ისტორია გითხრა — მიხელსონ-მორლეს სახელგანთქმული — რომელმაც ააგო ანალოგური მანქანა ფურიეს სერიის გამოსათვლელად 75 წევრამდე. როდესაც მან დაკვეცილი მის კოეფიციენტებიდან აღადგინა, მანქანამ გამოჩინა მდგრადი დეფორმაცია ნახტომის მახლობლად.
მიხელსონმა ჰკითხა ადგილობრივ მათემატიკოსებს. მათ დაადანაშაულეს აპარატი. მხოლოდ გიბსმა უსმინა.
გიბსის ფენომენი: როდესაც N წევრამდე დაკვეცილი ფურიეს სერია აახლოვებს ნაბიჯის უწყვეტობას, აახლოებამ გადაჭარბებულია დაახლოებით 8.9% სიმაღლის რაოდენობიდან — და ეს გადაჭარბება არ ქვეითდება N-ის მატებასთან ერთად. მეტი წევრი ვიწროვდება გადაჭარბებული სპაიკი მაგრამ არასოდეს აღმოფხვრის მას.
მათემატიკურად: N-წევრიანი ფურიეს სერია კონვერგენცია ხდება წერტილებით ყველგან, გარდა უწყვეტობისა. უწყვეტობაზე, ნაწილობრივი ჯამები კონვერგიული ხდება ნახტომის შუა წერტილზე, მაგრამ ნაწილობრივი ჯამის მაქსიმუმი ნახტომის მახლობლად აახლოვებს 1.0895-ს (ერთეული სიმაღლის ნაბიჯი), არა 1.0-ს.
რატომ აქვს მნიშვნელობა ფილტრებისთვის
იდეალური სიმდიდრის გავლის ფილტრი აქვს ნაბიჯი ფუნქცია ტრანსფერის ფუნქცია: H(f) = 1 f < f_c-ზე, H(f) = 0 f > f_c-ზე. ის უწყვეტობა საშუაროვა & მიტოვებული ზოლის შორის ნიშნავს რომ ნებისმიერი სასრული-სიგრძის ფილტრი (დაკვეცილი ფურიეს სერია) აჩვენებს გიბსის რიფულ მის სიხშირის რეაქციაზე.
შედეგი: დაკვეცილი ფურიეს სერია დიზაინი მარტო აწარმოებს ფილტრებს დაახლოებით 9% რიფულით მეორე & მიტოვებული ზოლებში, რელიგარდი საიდან მრავალი კოეფიციენტი გამოიყენება.
გიბსის ფენომენის გავლენა
ჰამინგმა ეს შედეგი გამოიყენა მოტივაცია ფანჯარი ფუნქციებისთვის: იდეალური ფურიეს კოეფიციენტების გამრავლება გლუვად ხერხემლიანი ფანჯრით შეამცირებს გიბსის გადაჭარბება დრამატულად.
ჰამინგის ფანჯარი: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). ეს ფანჯარი შეამცირებს გიბსის რიფულ 0.2%-ზე ნაკლებით.
ვაჭრობა: ფანჯრის გაფართოება იხსნის ტრანზიციას მაგრამ გაფართოებს ტრანზიციის ზოლს. მკრთალი კაბელი ყოველთვის მოითხოვს მეტი კოეფიციენტი.