Twee Voorwaarden, Twee Coëfficiënten
Een filter met k+1 vrije coëfficiënten kan aan precies k+1 voorwaarden voor de overdrachtsfunctie voldoen. Hamming toonde dit aan met het eenvoudigste niet-triviale geval: twee coëfficiënten, twee voorwaarden.
De Voorwaarden
- Bij f = 1/6: H(1/6) = 1 (deze frequentie gaat ongewijzigd door)
- Bij f = 1/3: H(1/3) = 0 (deze frequentie wordt volledig gestopt)
De Filtervorm
Een filter met twee coëfficiënten a en b met invoer x_n en één vertraging:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substitutie van de Eigenfunctie
Invoer e^{i2πfn}, uitvoer H(f) · e^{i2πfn}. De rechterkant geeft:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Deel door e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Pas nu de twee voorwaarden toe om twee vergelijkingen in twee onbekenden te krijgen.
Oplossen van de Coëfficiënten
Substitutie van f = 1/6 in H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Substitutie van f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Uit deze twee vergelijkingen lost Hamming op om a = 1/2, b = 1/2 te krijgen — hetzelfde als een gemiddelde van 3 steekproeven (met de uitvoer op de middelste positie).
Het Volledige Filter
Het filter dat aan beide voorwaarden voldoet heeft de vorm:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Uitvoer op positie n gebruikt de vorige, huidige & volgende invoersteekproeven.
Overdrachtsfunctie:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verificatie:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Bij andere frequenties: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (geeft DC met versterking), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Inzicht: een digitaal filter implementeert in software wat een analoog RC-filter implementeert in hardware. De keuze van coëfficiënten bepaalt de frequentierespons analytisch.
Overdrachtsfunctie bij Meerdere Frequenties
De overdrachtsfunctie H(f) = cos(2πf) + 1/2 is van toepassing op elke frequentie, niet alleen de twee ontwerpputten.
Gibbs' Ontdekking
Hamming vertelde het verhaal van Michelson — van Michelson-Morley beroemdheid — die een analoge machine bouwde om Fourier-reeksen tot 75 termen te berekenen. Toen hij een discontinue functie uit zijn coëfficiënten reconstrueerde, toonde de machine een persistent overshoot bij de sprong.
Michelson vroeg lokale wiskundigen. Ze gaven de schuld aan de apparatuur. Alleen Gibbs luisterde.
Het Gibbs-fenomeen: wanneer een Fourier-reeks afgekapt tot N termen een stap-discontinuïteit benadert, overschrijdt de benadering ongeveer 8,9% van de spronghoogte — en deze overshoot neemt NIET af naarmate N toeneemt. Meer termen maken de overshoot-piek smaller maar elimineren deze nooit.
Wiskundig: de N-term Fourier-reeks convergeert puntsgewijs overal behalve op de discontinuïteit. Op de discontinuïteit convergeert de partiële som naar het middenpunt van de sprong, maar het maximum van de partiële som nabij de sprong nadert 1.0895 (voor een eenheidshoogte-stap), niet 1.0.
Waarom het belangrijk is voor Filters
Een ideaal laagdoorlaatfilter heeft een stapfunctie overdrachtsfunctie: H(f) = 1 voor f < f_c, H(f) = 0 voor f > f_c. Die discontinuïteit tussen doorlaatband & stopband betekent dat elk eindige-lengte-filter (afgekapte Fourier-reeks) Gibbs-rimpel in zijn frequentierespons vertoont.
Het gevolg: afgekapte Fourier-reeks-ontwerp alleen produceert filters met ≈9% rimpel in zowel doorlaatband als stopband, ongeacht hoeveel coëfficiënten worden gebruikt.
Implicaties van het Gibbs-Fenomeen
Hamming gebruikte dit resultaat om vensterfuncties te motiveren: vermenigvuldiging van de ideale Fourier-coëfficiënten met een glad taps toelopend venster vermindert de Gibbs-overshoot dramatisch.
Het Hamming-venster: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Dit venster vermindert Gibbs-rimpel tot minder dan 0,2%.
De afweging: vensterbewerkingen verzacht de overgang maar verbreden de overgangsbanden. Scherperder afknipsel vereist altijd meer coëfficiënten.