Dwa Warunki, Dwa Współczynniki
Filtr o k+1 wolnych współczynnikach może spełniać dokładnie k+1 warunków na swoją funkcję przekazującą. Hamming pokazał to w najprostszym nie-triwialnym przypadku: dwóch współczynników, dwa warunki.
Warunki
- Pri f = 1/6: H(1/6) = 1 (ta częstotliwość przechodzi niezmieniona)
- Pri f = 1/3: H(1/3) = 0 (ta częstotliwość jest całkowicie zatrzymywana)
Forma Filtru
Filtr używający dwóch współczynników a i b z wejściem x_n i jednym opóźnieniem:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Wprowadzenie Funkcji Współczynnikowej
Wejście e^{i2πfn}, wyjście H(f) · e^{i2πfn}. Prawa strona daje:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Pomnóż przez e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Teraz zastosuj oba warunki, aby dostać się do dwóch równań w dwóch nieznanach.
Rozwiązywanie Współczynników
Wprowadzenie f = 1/6 do H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Wprowadzenie f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Z tych dwóch równań, Hamming rozwiązał, aby dostać a = 1/2, b = 1/2 — to samo jak 3-probowań średniego (z wyjściem w środkowej pozycji).
Filtr Całkowity
Filtr spełniający obie warunki ma postać:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Wynik na pozycji n korzysta z poprzedniego, obecnego i następnego próbkowania wejściowego.
Funkcja przejściowa:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Weryfikacja:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
W innych częstotliwościach: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (przepuszczalność DC z zyskiem), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Wgląd: filtr cyfrowy realizuje w oprogramowaniu to, co filtr RC analogowy realizuje w sprzęcie. Wybór współczynników kontroluje odpowiedź na częstotliwość analizytycznie.
Funkcja Przejściowa w Różnych Częstotliwościach
Funkcja przejściowa H(f) = cos(2πf) + 1/2 zastosowana jest dla każdej częstotliwości, a nie tylko dla dwóch punktów projektowych.
Odkrycie Gibbsa
Hamming opowiadał historię Michelsona - Michelsona sławy Morleya - który zbudował analogowy aparat do obliczania szeregów Fouriera do 75 terminów. Gdy odtwarzał funkcję nieciągłą na podstawie swoich współczynników, aparat wykazywał stały przekroczenie w pobliżu skoku.
Michelson zapytał lokalnych matematyków. Oni winili sprzęt. Tylko Gibbs słuchał.
Phenomenon Gibbs: gdy szereg Fouriera skrócony do N terminów przybliża krok nieciągłości, przekroczenie przybliżenia wynosi około 8,9% wysokości skoku - i to przekroczenie NIE maleje wraz ze wzrostem N. Więcej terminów zwęża wierzchołek przekroczenia, ale nigdy go nie wyeliminuje.
Matematycznie: N-terminowy szereg Fouriera konverguje punktowo wszędzie, gdzie indziej, z wyjątkiem punktu nieciągłości. Na punkcie nieciągłości, sumy częściowe konvergują do środka skoku, ale maksimum sumy częściowej w pobliżu skoku zbliża się do 1,0895 (dla krokowej funkcji o wysokości jednostki), a nie do 1,0.
Dlaczego to ma znaczenie dla filtrów
Idealny filtr o niskich częstotliwościach ma funkcję przejścia w postaci funkcji kroczącej: H(f) = 1 dla f < f_c, H(f) = 0 dla f > f_c. Ta nieciągłość między pasmem przejściowym a pasmem zatrzymującym oznacza, że dowolny filtr o ograniczonej długości (skrócony szereg Fouriera) wykazuje efekt Gibbs w swojej odpowiedzi na częstotliwość.
Skutek: projektowanie samych skróconych szeregów Fouriera prowadzi do filtrów z około 9% przeciągnięciem w obu pasmach przejściowych i pasmach zatrzymujących, niezależnie od liczby współczynników używanych.
Skutki implikacji Phaenomenon Gibbs
Hamming użył tego wyniku, aby motywować funkcje okien: mnożenie ideałowych współczynników Fouriera przez gładko przyciągające okno zmniejsza dramatycznie efekt Gibbs.
Okno Hamminga: w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). To okno zmniejsza Gibbs ripple do mniej niż 0,2%.
Kompromis: okienkowanie gładzi przejście, ale rozszerza pasmo przejściowe. Szczuplejsze przycięcie zawsze wymaga więcej współczynników.