Deux conditions, deux coefficients
Un filtre avec k+1 coefficients libres peut satisfaire exactement k+1 conditions sur sa fonction de transfert. Hamming a démontré cela avec le cas non trivial le plus simple : deux coefficients, deux conditions.
Les conditions
- À f = 1/6 : H(1/6) = 1 (cette fréquence passe inchangée)
- À f = 1/3 : H(1/3) = 0 (cette fréquence est complètement arrêtée)
La forme du filtre
Un filtre utilisant deux coefficients a et b avec l'entrée x_n et un délai :
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substituer la fonction propre
Entrée e^{i2πfn}, sortie H(f) · e^{i2πfn}. Le côté droit donne :
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Diviser par e^{i2πfn} :
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Appliquez maintenant les deux conditions pour obtenir deux équations à deux inconnues.
Résoudre les coefficients
En substituant f = 1/6 dans H(f) = a + b·e^{−i2πf} :
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
En substituant f = 1/3 :
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
À partir de ces deux équations, Hamming a résolu pour obtenir a = 1/2, b = 1/2 — le même qu'une moyenne sur 3 échantillons (avec la sortie à la position médiane).
Le filtre complet
Le filtre qui satisfait les deux conditions a la forme :
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
La sortie à la position n utilise les échantillons d'entrée précédent, courant & suivant.
Fonction de transfert :
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Vérification :
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
À d'autres fréquences : H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (passe DC avec gain), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Intuition : un filtre numérique implémente en logiciel ce qu'un filtre RC analogique implémente en matériel. Le choix des coefficients contrôle la réponse en fréquence analytiquement.
Fonction de transfert à plusieurs fréquences
La fonction de transfert H(f) = cos(2πf) + 1/2 s'applique à chaque fréquence, pas seulement aux deux points de conception.
La découverte de Gibbs
Hamming a raconté l'histoire de Michelson — celui de la célébrité de Michelson-Morley — qui a construit une machine analogique pour calculer les séries de Fourier jusqu'à 75 termes. Quand il a reconstruit une fonction discontinue à partir de ses coefficients, la machine a montré un dépassement persistant près du saut.
Michelson a demandé aux mathématiciens locaux. Ils ont blâmé l'équipement. Seul Gibbs a écouté.
Le phénomène de Gibbs : quand une série de Fourier tronquée à N termes approxime une discontinuité d'étape, l'approximation dépasse de environ 8,9 % de la hauteur du saut — & ce dépassement ne DIMINUE PAS à mesure que N augmente. Plus de termes rétrécissent le pic de dépassement mais ne l'éliminent jamais.
Mathématiquement : la série de Fourier à N termes converge ponctuellement partout sauf à la discontinuité. À la discontinuité, les sommes partielles convergent vers le point médian du saut, mais le maximum de la somme partielle près du saut approche 1,0895 (pour un saut de hauteur unitaire), pas 1,0.
Pourquoi c'est important pour les filtres
Un filtre passe-bas idéal a une fonction de transfert en échelon : H(f) = 1 pour f < f_c, H(f) = 0 pour f > f_c. Cette discontinuité entre la bande passante & la bande d'arrêt signifie que tout filtre de longueur finie (série de Fourier tronquée) présente l'ondulation de Gibbs dans sa réponse en fréquence.
La conséquence : le design par série de Fourier tronquée seul produit des filtres avec une ondulation d'environ 9 % en bande passante & en bande d'arrêt, indépendamment du nombre de coefficients utilisés.
Implications du phénomène de Gibbs
Hamming a utilisé ce résultat pour motiver les fonctions de fenêtrage : multiplier les coefficients de Fourier idéaux par une fenêtre qui s'effile progressivement réduit considérablement le dépassement de Gibbs.
La fenêtre de Hamming : w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). Cette fenêtre réduit l'ondulation de Gibbs à moins de 0,2 %.
Le compromis : le fenêtrage lisse la transition mais élargit la bande de transition. Un cutoff plus net nécessite toujours plus de coefficients.