Duas Condições, Dois Coeficientes
Um filtro com k+1 coeficientes livres pode atender exatamente k+1 condições em sua função de transferência. Hamming demonstrou isso com o caso mais simples não-trivial: dois coeficientes, duas condições.
As Condições
- Em f = 1/6: H(1/6) = 1 (esta frequência passa inalterada)
- Em f = 1/3: H(1/3) = 0 (esta frequência é completamente bloqueada)
A Forma do Filtro
Um filtro usando dois coeficientes a e b com entrada x_n e um atraso:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substituindo a Autofunção
Entrada e^{i2πfn}, saída H(f) · e^{i2πfn}. O lado direito dá:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Divida por e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Agora aplique as duas condições para obter duas equações em duas incógnitas.
Resolvendo para os Coeficientes
Substituindo f = 1/6 em H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Substituindo f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
A partir dessas duas equações, Hamming resolveu para obter a = 1/2, b = 1/2 — o mesmo que uma média de 3 amostras (com a saída na posição do meio).
O Filtro Completo
O filtro que satisfaz ambas as condições tem a forma:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
A saída na posição n usa as amostras de entrada anterior, atual & próxima.
Função de transferência:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verificação:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Em outras frequências: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (passa CC com ganho), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Insight: um filtro digital implementa em software o que um filtro RC analógico implementa em hardware. A escolha dos coeficientes controla analiticamente a resposta em frequência.
Função de Transferência em Múltiplas Frequências
A função de transferência H(f) = cos(2πf) + 1/2 se aplica em cada frequência, não apenas nos dois pontos de projeto.
A Descoberta de Gibbs
Hamming contou a história de Michelson — de fama Michelson-Morley — que construiu uma máquina analógica para computar séries de Fourier até 75 termos. Quando ele reconstruiu uma função descontínua a partir de seus coeficientes, a máquina mostrou um overshoot persistente perto do salto.
Michelson perguntou aos matemáticos locais. Eles culparam o equipamento. Apenas Gibbs ouviu.
O fenômeno de Gibbs: quando uma série de Fourier truncada para N termos aproxima uma descontinuidade em degrau, a aproximação ultrapassa por aproximadamente 8,9% da altura do salto — e este overshoot NÃO diminui conforme N aumenta. Mais termos estreitam o pico de overshoot mas nunca o eliminam.
Matematicamente: a série de Fourier de N termos converge pontualmente em todos os lugares exceto na descontinuidade. Na descontinuidade, as somas parciais convergem para o ponto médio do salto, mas o máximo da soma parcial perto do salto se aproxima de 1,0895 (para um degrau de altura unitária), não 1,0.
Por Que Importa para Filtros
Um filtro passa-baixa ideal tem uma função de transferência de função degrau: H(f) = 1 para f < f_c, H(f) = 0 para f > f_c. Essa descontinuidade entre a banda de passagem & a banda de parada significa que qualquer filtro de comprimento finito (série de Fourier truncada) exibe ondulação de Gibbs em sua resposta em frequência.
A consequência: apenas o projeto de série de Fourier truncada produz filtros com ondulação ≈9% em ambas as bandas de passagem & parada, independentemente de quantos coeficientes são usados.
Implicações do Fenômeno de Gibbs
Hamming usou este resultado para motivar funções de janela: multiplicar os coeficientes ideais de Fourier por uma janela suavemente afinada reduz drasticamente o overshoot de Gibbs.
A janela de Hamming: w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). Esta janela reduz a ondulação de Gibbs para menos de 0,2%.
O trade-off: a janelização suaviza a transição mas amplia a banda de transição. Um corte mais afiado sempre requer mais coeficientes.