Två villkor, två koefficienter
Ett filter med k+1 fria koefficienter kan uppfylla exakt k+1 villkor på dess överföringsfunktion. Hamming demonstrerade detta med det enklaste icke-triviala fallet: två koefficienter, två villkor.
Villkoren
- Vid f = 1/6: H(1/6) = 1 (denna frekvens passerar oförändrad)
- Vid f = 1/3: H(1/3) = 0 (denna frekvens är helt blockerad)
Filterformen
Ett filter som använder två koefficienter a och b med inmatning x_n och en fördröjning:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Ersätta egenfunktionen
Inmatning e^{i2πfn}, utmatning H(f) · e^{i2πfn}. Höger sida ger:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Dela båda sidorna med e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Tillämpa nu de två villkoren för att få två ekvationer med två okända.
Lösa för koefficienterna
Ersätta f = 1/6 i H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Ersätta f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Från dessa två ekvationer löste Hamming för att få a = 1/2, b = 1/2 — samma som ett filter för medelvärde av 3 samplingar (med utmatningen vid mittenpositionen).
Det kompletta filtret
Filtret som uppfyller båda villkoren har formen:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Utmatningen vid position n använder tidigare, aktuell & nästa inmatningsprovning.
Överföringsfunktion:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verifiering:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Vid andra frekvenser: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (passerar DC med förstärkning), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Insikt: ett digitalt filter implementerar i mjukvara vad ett analogt RC-filter implementerar i hårdvara. Valet av koefficienter styr frekvensgången analytiskt.
Överföringsfunktion vid flera frekvenser
Överföringsfunktionen H(f) = cos(2πf) + 1/2 gäller vid varje frekvens, inte bara de två designpunkterna.
Gibbs upptäckt
Hamming berättade historien om Michelson — av Michelson-Morley-rykte — som byggde en analogmaskun för att beräkna Fourier-serier upp till 75 termer. När han rekonstruerade en diskontinuerlig funktion från dess koefficienter, visade maskinen ett ihållande överskud nära hoppet.
Michelson frågade lokala matematiker. De skyllde på utrustningen. Endast Gibbs lyssnade.
Gibbs-fenomenet: när en Fourier-serie avkortad till N termer approximerar en stegdiskontinuitet, överskrider approximationen med ungefär 8,9% av hopphöjden — och detta överskud minskar INTE när N ökar. Fler termer gör överskudsspiken smalare men eliminerar den aldrig.
Matematiskt: N-terms Fourier-serien konvergerar punktvis överallt utom vid diskontinuiteten. Vid diskontinuiteten konvergerar partialsummorna till mittenpunkten för hoppet, men maximumet av partialsumman nära hoppet närmar sig 1,0895 (för ett enhetshopp), inte 1,0.
Varför det spelar roll för filter
Ett idealt lågpassfilter har en stegfunktions överföringsfunktion: H(f) = 1 för f < f_c, H(f) = 0 för f > f_c. Denna diskontinuitet mellan passband och stoppband betyder att ett ändligt långt filter (avkortad Fourier-serie) uppvisar Gibbs-vägling i dess frekvensrespons.
Konsekvensen: endast avkortad Fourier-seriedesign producerar filter med ≈9% vägling i både passband och stoppband, oavsett hur många koefficienter som används.
Implikationer av Gibbs-fenomenet
Hamming använde detta resultat för att motivera fönsterfunktioner: multiplikation av de ideala Fourier-koefficienterna med ett smidigt avsmalnande fönster minskar Gibbs-överskudet dramatiskt.
Hamming-fönstret: w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). Detta fönster minskar Gibbs-vägling till mindre än 0,2%.
Avvägningen: fönstring jämnar ut övergången men breddar övergångsbandet. Skarpare cut-off kräver alltid fler koefficienter.