un

guest
1 / ?
back to lessons

اثنان من الشروط، اثنان من معاملات الكوэфيسنت

يتمكن مفتاح مع k+1 معاملًا مجانيًا من تنفيذ k+1 شرطًا على وظيفة تحويله. أظهر هامنج هذا بالحالة البسيطة غير المترفة: معاملين، شرطين.

الشروط

- عند f = 1/6: H(1/6) = 1 (يتم مرور هذا التردد دون تغيير)

- عند f = 1/3: H(1/3) = 0 (يتم وقف هذا التردد تمامًا)

صيغة المفتاح

مفتاح يستخدم معاملين a و b مع المدخل x_n ومتأخر واحد:

y_n = a · x_n + b · x_{n−1}

استبدال الوظيفة الخاصة

مدخل e^{i2πfn}، وoutput H(f) · e^{i2πfn}. الجانب الأيمن يؤدي:

H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}

قسيمة من خلال e^{i2πfn}:

H(f) = a + b · e^{−i2πf}

الآن تطبق الشروطين للحصول على معادلتين في مجهولين.

! [فلاتر التوسط: وظيفة التحويل](/static/diagrams/hamming_ch15_transfer_fn.svg)

الحصول على معاملات المفتاح

استبدال f = 1/6 في H(f) = a + b·e^{−i2πf}:

1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)

استبدال f = 1/3:

0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)

من هذه المعادلتين، حل هامنج ليتحصل على a = 1/2، b = 1/2 - نفسها كمتوسط ثلاثي الأبعاد (مع خروج المفتاح في الوضع الوسطي).

حدد معاملات المفتاح باستخدام معادلتين من H(1/6) = 1 و H(1/3) = 0 مع صيغة المفتاح H(f) = a + b·e^{−i2πf}. توفر هذه المعادلة a = 1/2، b = 1/2. تأكد من ذلك: استبدل a = b = 1/2 في H(f) = a + b·e^{−i2πf} وقيّم عند f = 1/3. أظهر أنك تتمتع بحق H(1/3) = 0. استخدم معادلة أيزكر: e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

المصفوفة الكاملة

المصفوفة التي تفي بالشرطين لها الشكل:

y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2

الإخراج في موضع n يستخدم العينات المدخلة السابقة والحالية والآتية.

وظيفة التحويل:

H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2

التحقق:

- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓

- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓

في الترددات الأخرى: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (مرور تيار دائم مع مكافأة)، H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.

فكرة مهمة: يقوم المصفوفة الرقمية بتنفيذ في البرمجيات ما يقوم به المصفوفة RC المعكوسة في hardware. اختيار المعاملات يتحكم في الاستجابة الترددية التحليلية.

وظيفة التحويل في الترددات المتعددة

تتطبيق وظيفة التحويل H(f) = cos(2πf) + 1/2 على كل تردد، وليس فقط النقاط المتصلة التصميم.

باستخدام H(f) = cos(2πf) + 1/2، حسب H(f) عند f = 0، f = 1/4، و f = 1/2. ثم وصف الشخصية العامة لهذا المصفوفة: هل هي مصفوفة منخفضة التردد، أو مرتفعة التردد، أو مرتدة التردد، أو مصفوفة منع التردد؟ ما الأدلة من ثلاثة حسابات تدعم هذه التصنيف؟

اكتشاف جيبس

حامينغ حكى قصة ميتشلسون - ميتشلسون-مورلي الشهرة - الذي بنى جهازًا رقميًا لتقدير سلسلة فورييه حتى 75 مصطلحًا. عند إعادة بناء الدالة الفقاعية غير المتقطعة من معاملاتها ، أظهر الجهاز انزلاقًا مستمرًا قريبًا من الفجوة.

سأل ميتشلسون الرياضيين المحليين. قالوا أن الأجهزة كانت المسؤولة. فقط جيبس استماع.

تأثير جيبس: عندما تقترب سلسلة فورييه المقطوعة لتقريب فجوة خطية ، يفوق الانزلاق التقريبي حوالي 8.9% من ارتفاع الفجوة - وهذا الانزلاق لا يقلص مع زيادة عدد المصطلحات. يتم ضبط مصطلحات أكثر على انحناءة الانزلاق ولكن لا يزيلونها أبدًا.

رياضيًا: تتقارب سلسلة فورييه N-المصطلح في كل مكان باستثناء الفجوة. في الفجوة ، تتقارب الأعداد الجزئية للقيمة الوسطى للفجوة ، لكن أعلى عدد جزئي بالقرب من الفجوة تتقارب 1.0895 (لخطية الوحدة) وليس 1.0.

لماذا يهم هذا للفلترات

فلتر لولبي مثالي لديه دالة انتقال خطية: H(f) = 1 للf < f_c ، H(f) = 0 للf > f_c. هذه الفجوة بين المجرى المعتمد والمجرى الممنوع تعني أن أي فلتر قصير (سلسلة فورييه مقطوعة) يظهر تأثير جيبس في الاستجابة الترددية.

النتيجة: تصميم سلسلة فورييه مقطوعة فقط ينتج فلترات بها انعكاس تقريبي حوالي 9% في المجرى المعتمد والمجرى الممنوع ، بغض النظر عن عدد المعاملات المستخدمة.

! [تأثير جيبس & Functions النافذة](/static/diagrams/hamming_ch16_gibbs.svg)

تطبيقات تأثير جيبس

استخدم حامينغ هذا النتيجة لتشجيع functions النافذة: ضرب المعاملات الفوريية بالدالة النافذة التAPERING المعتدلة تقلل الانزلاق جيبس بشكل كبير.

دالة Hamming: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). هذه الدالة تقلل انعكاس جيبس إلى أقل من 0.2%.

التعويض: تفتح الدالة المنزلقة المجرى الانتقالي لكنها توسع مجرى الانتقال. دائمًا ما يتطلب اقترابًا أكثر حدة أكثر مصطلحات.

صمم مصمم الفلتر المعاملات الفوريية المثالية لفلتر لولبي ذو اقتراب من الحد الأقصى ويقطع إلى N = 50 مصطلحًا ، ثم يزيد N إلى 500 مصطلحًا. وصف ما يحدث لـ: (أ) عرض المجرى الانتقالي؛ (ب) ارتفاع الانزلاق جيبس في المجرى المعتمد. اشرح ما يغير وما لا يغير.