شرطان، معاملان
مرشح له k+1 معاملات حرة يمكن أن يلبي بالضبط k+1 شروط على دالة التحويل الخاصة به. أثبت هامينج ذلك بأبسط حالة غير تافهة: معاملان، شرطان.
الشروط
- عند f = 1/6: H(1/6) = 1 (هذا التردد يمر دون تغيير)
- عند f = 1/3: H(1/3) = 0 (هذا التردد يتم إيقافه تماماً)
شكل المرشح
مرشح يستخدم معاملين a و b مع إدخال x_n و تأخير واحد:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
استبدال الدالة الذاتية
الإدخال e^{i2πfn}، الإخراج H(f) · e^{i2πfn}. الجانب الأيمن يعطي:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
اقسم على e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
الآن طبق الشرطين للحصول على معادلتين بمجهولين.
حل المعاملات
استبدال f = 1/6 في H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
استبدال f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
من هاتين المعادلتين، حل هامينج للحصول على a = 1/2, b = 1/2 — نفس الحال مع المتوسط على 3 عينات (مع الإخراج في الموضع الأوسط).
المرشح الكامل
المرشح الذي يلبي كلا الشرطين له الشكل:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
الإخراج في الموضع n يستخدم عينات الإدخال السابقة و الحالية و اللاحقة.
دالة التحويل:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
التحقق:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
عند ترددات أخرى: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (يمرر DC بكسب)، H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
الرؤية: مرشح رقمي ينفذ في البرمجيات ما ينفذه مرشح RC التناظري في الأجهزة. يتحكم اختيار المعاملات في استجابة التردد بشكل تحليلي.
دالة التحويل عند ترددات متعددة
دالة التحويل H(f) = cos(2πf) + 1/2 تنطبق على كل تردد، ليس فقط نقاط التصميم الاثنتين.
اكتشاف جيبس
حكى هامينج قصة مايكلسون — مايكلسون-مورلي الشهير — الذي بنى آلة تناظرية لحساب متسلسلة فورييه حتى 75 حداً. عندما أعاد بناء دالة غير متصلة من معاملاتها، أظهرت الآلة إفراطاً مستمراً قرب القفزة.
سأل مايكلسون علماء الرياضيات المحليين. اتهموا المعدات. فقط جيبس استمع.
ظاهرة جيبس: عندما تكون متسلسلة فورييه المقطوعة بـ N حد تقترب من قفزة انقطاع، يتجاوز التقريب بحوالي 8.9% من ارتفاع القفزة — و هذا الإفراط لا ينخفض مع زيادة N. المزيد من الحدود تضيق مسمار الإفراط لكن لا تلغيه أبداً.
رياضياً: متسلسلة فورييه على N حد تتقارب بنقطة في كل مكان باستثناء الانقطاع. عند الانقطاع، المجاميع الجزئية تتقارب إلى نقطة منتصف القفزة، لكن الحد الأقصى للمجموع الجزئي قرب القفزة يقترب من 1.0895 (لقفزة بارتفاع وحدة)، وليس 1.0.
لماذا يهم للمرشحات
مرشح lowpass مثالي له دالة تحويل على شكل درجة: H(f) = 1 لـ f < f_c، H(f) = 0 لـ f > f_c. الانقطاع بين passband و stopband يعني أي مرشح بطول محدود (متسلسلة فورييه مقطوعة) يظهر تموج جيبس في استجابة التردد.
النتيجة: تصميم متسلسلة فورييه المقطوعة وحده ينتج مرشحات بتموج ≈9% في كل من passband و stopband، بغض النظر عن عدد المعاملات.
آثار ظاهرة جيبس
استخدم هامينج هذه النتيجة لتحفيز دوال النوافذ: ضرب معاملات فورييه المثالية في نافذة تتناقص بسلاسة يقلل إفراط جيبس بشكل كبير.
نافذة هامينج: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). تقلل هذه النافذة تموج جيبس إلى أقل من 0.2%.
المقايضة: تسهيل النافذة الانتقال لكن يوسع نطاق الانتقال. القطع الحاد دائماً يتطلب معاملات أكثر.