Dos Condiciones, Dos Coeficientes
Un filtro con k+1 coeficientes libres puede cumplir exactamente k+1 condiciones en su función de transferencia. Hamming demostró esto con el caso más simple no trivial: dos coeficientes, dos condiciones.
Las Condiciones
- En f = 1/6: H(1/6) = 1 (esta frecuencia pasa sin cambios)
- En f = 1/3: H(1/3) = 0 (esta frecuencia se detiene completamente)
La Forma del Filtro
Un filtro que usa dos coeficientes a y b con entrada x_n y un retardo:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Sustitución de la Función Propia
Entrada e^{i2πfn}, salida H(f) · e^{i2πfn}. El lado derecho da:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Divide todo entre e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Ahora aplica las dos condiciones para obtener dos ecuaciones en dos incógnitas.
Resolución de los Coeficientes
Sustituyendo f = 1/6 en H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Sustituyendo f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
De estas dos ecuaciones, Hamming resolvió para obtener a = 1/2, b = 1/2 — lo mismo que un promedio de 3 muestras (con la salida en la posición media).
El Filtro Completo
El filtro que cumple ambas condiciones tiene la forma:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
La salida en la posición n usa las muestras de entrada anterior, actual & siguiente.
Función de transferencia:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verificación:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
En otras frecuencias: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (pasa DC con ganancia), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Intuición: un filtro digital implementa en software lo que un filtro RC analógico implementa en hardware. La elección de coeficientes controla la respuesta de frecuencia analíticamente.
Función de Transferencia en Múltiples Frecuencias
La función de transferencia H(f) = cos(2πf) + 1/2 se aplica en cada frecuencia, no solo en los dos puntos de diseño.
El Descubrimiento de Gibbs
Hamming contó la historia de Michelson — del famoso experimento de Michelson-Morley — quien construyó una máquina analógica para calcular la serie de Fourier hasta 75 términos. Cuando reconstruyó una función discontinua a partir de sus coeficientes, la máquina mostró un exceso persistente cerca del salto.
Michelson preguntó a matemáticos locales. Culparon al equipo. Solo Gibbs escuchó.
El fenómeno de Gibbs: cuando una serie de Fourier truncada en N términos aproxima una discontinuidad escalonada, la aproximación excede aproximadamente el 8.9% de la altura del salto — & este exceso NO disminuye cuando N aumenta. Más términos estrechan el pico de exceso pero nunca lo eliminan.
Matemáticamente: la serie de Fourier de N términos converge puntualmente en todas partes excepto en la discontinuidad. En la discontinuidad, las sumas parciales convergen al punto medio del salto, pero el máximo de la suma parcial cerca del salto se aproxima a 1.0895 (para un salto de altura unitaria), no a 1.0.
Por Qué Importa para Filtros
Un filtro paso bajo ideal tiene una función de transferencia escalonada: H(f) = 1 para f < f_c, H(f) = 0 para f > f_c. Esa discontinuidad entre banda de paso & banda de parada significa que cualquier filtro de longitud finita (serie de Fourier truncada) exhibe ondulación de Gibbs en su respuesta de frecuencia.
La consecuencia: el diseño solo con serie de Fourier truncada produce filtros con ≈9% de ondulación en banda de paso & banda de parada, sin importar cuántos coeficientes se usen.
Implicaciones del Fenómeno de Gibbs
Hamming usó este resultado para motivar funciones de ventana: multiplicar los coeficientes ideales de Fourier por una ventana que se estrecha suavemente reduce dramáticamente el exceso de Gibbs.
La ventana de Hamming: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Esta ventana reduce la ondulación de Gibbs a menos del 0.2%.
La compensación: el ventanaje suaviza la transición pero ensancha la banda de transición. Un corte más agudo siempre requiere más coeficientes.