Zwei Bedingungen, zwei Koeffizienten
Ein Filter mit k+1 freien Koeffizienten kann genau k+1 Bedingungen an seiner Übergabefunktion erfüllen. Hamming zeigte dies mit dem einfachsten nicht-triviale Fall: zwei Koeffizienten, zwei Bedingungen.
Die Bedingungen
- Bei f = 1/6: H(1/6) = 1 (diese Frequenz bleibt unverändert)
- Bei f = 1/3: H(1/3) = 0 (diese Frequenz wird vollständig unterdrückt)
Die Filter-Form
Ein Filter mit zwei Koeffizienten a und b mit Eingabe x_n und einer Verzögerung:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substitution der Eigenfunktion
Eingabe e^{i2πfn}, Ausgabe H(f) · e^{i2πfn}. Die rechte Seite gibt:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Teilen durch e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Anwenden der beiden Bedingungen, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu erhalten.
Lösen der Koeffizienten
Eingabe von f = 1/6 in H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Eingabe von f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Aus diesen beiden Gleichungen löste Hamming a = 1/2, b = 1/2 - die gleichen Werte wie ein 3-Stichprobenmittelwert (mit der Ausgabe in der mittleren Position).
Der vollständige Filter
Der Filter, der beide Bedingungen erfüllt, hat die Form:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Ausgabe an Position n verwendet die vorherige, aktuelle & nächste Eingabe-Samples.
Übertragungsfunktion:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verifikation:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
An anderen Frequenzen: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (lasse DC mit Gewinn durch), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Einsicht: Ein digitales Filter implementiert in Software, was ein analoga RC-Filter in Hardware implementiert. Die Wahl der Koeffizienten kontrolliert die Frequenzantwort analytisch.
Übertragungsfunktion an verschiedenen Frequenzen
Die Übertragungsfunktion H(f) = cos(2πf) + 1/2 gilt für jede Frequenz, nicht nur die beiden Designpunkte.
Gibbs' Entdeckung
Hamming erzählte die Geschichte von Michelson - von Michelson-Morley-Ruhm - der eine analoge Maschine baute, um Fouriersätze bis zu 75 Terme zu berechnen. Wenn er eine diskontinuierliche Funktion aus ihren Koeffizienten rekonstruierte, zeigte die Maschine einen beständigen Überschlag in der Nähe des Sprungs.
Michelson fragte lokale Mathematiker. Sie warfen der Ausrüstung vor. Nur Gibbs hörte zu.
Das Gibbs-Phänomen: Wenn eine Fourier-Reihe auf N Terme gekürzt eine Schritt-Diskontinuität approximiert, überschlägt die Approximation um ungefähr 8,9% der Sprunghöhe - und dieses Überschreiten nimmt nicht ab, wenn N erhöht wird. Mehr Terme verengen den Überschlag-Spitzen, aber sie eliminieren ihn nie.
Mathematisch: Die N-Term-Fourier-Reihe konvergiert punkweise überall außer an der Diskontinuität. An der Diskontinuität konvergieren die Teilsommen zum Mittelpunkt des Sprungs, aber der Maximum der Teilsomme in der Nähe des Sprungs nähert sich 1,0895 (für eine Einheit-Größen-Schritt), nicht 1,0.
Warum es für Filter wichtig ist
Ein ideales Tiefpassfilter hat eine Schritt-Funktionsübertragung: H(f) = 1 für f < f_c, H(f) = 0 für f > f_c. Diese Diskontinuität zwischen Passband und Stopband bedeutet, dass jede endliche Länge Filter (gekürzte Fourier-Reihe) das Gibbs-Rippen in seiner Frequenzantwort zeigt.
Die Folge: gekürzte Fourier-Reihen-Design allein erzeugt Filter mit etwa 9% Rippen in Passband und Stopband, unabhängig davon, wie viele Koeffizienten verwendet werden.
Auswirkungen des Gibbs-Phänomens
Hamming verwendete dieses Ergebnis, um Fensterfunktionen zu motivieren: Multiplikation der idealen Fourier-Koeffizienten mit einer sanft schwingenden Treppe reduziert die Gibbs-Überschläge dramatisch.
Das Hamming-Fenster: w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). Dieses Fenster reduziert das Gibbs-Rippen auf weniger als 0,2%.
Das Risiko: Fensterung glättet die Übergänge, aber es erweitert das Übergangsband. Scharfe Abschaltung erfordert immer mehr Koeffizienten.