Zwei Bedingungen, zwei Koeffizienten
Ein Filter mit k+1 freien Koeffizienten kann genau k+1 Bedingungen für seine Übertragungsfunktion erfüllen. Hamming demonstrierte dies am einfachsten nicht-trivialen Fall: zwei Koeffizienten, zwei Bedingungen.
Die Bedingungen
- Bei f = 1/6: H(1/6) = 1 (diese Frequenz wird unverändert durchgelassen)
- Bei f = 1/3: H(1/3) = 0 (diese Frequenz wird vollständig gestoppt)
Die Filterform
Ein Filter mit zwei Koeffizienten a und b mit Eingabe x_n und einer Verzögerung:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Substitution der Eigenfunktion
Eingabe e^{i2πfn}, Ausgabe H(f) · e^{i2πfn}. Die rechte Seite ergibt:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Teilen durch e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Wenden Sie nun die zwei Bedingungen an, um zwei Gleichungen in zwei Unbekannten zu erhalten.
Lösen für die Koeffizienten
Substitution von f = 1/6 in H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Substitution von f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Aus diesen zwei Gleichungen löste Hamming auf, um a = 1/2, b = 1/2 zu erhalten — gleich wie ein 3-Muster-Durchschnitt (mit der Ausgabe an der mittleren Position).
Der vollständige Filter
Der Filter, der beide Bedingungen erfüllt, hat die Form:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
Die Ausgabe an Position n verwendet die vorherige, aktuelle & nächste Eingabestichprobe.
Übertragungsfunktion:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verifikation:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Bei anderen Frequenzen: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (durchläuft DC mit Gewinn), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Einsicht: Ein digitaler Filter implementiert in Software, was ein analoger RC-Filter in Hardware implementiert. Die Wahl der Koeffizienten steuert die Frequenzantwort analytisch.
Übertragungsfunktion bei mehreren Frequenzen
Die Übertragungsfunktion H(f) = cos(2πf) + 1/2 gilt bei jeder Frequenz, nicht nur bei den zwei Entwurfspunkten.
Gibbs' Entdeckung
Hamming erzählte die Geschichte von Michelson — von Michelson-Morley-Ruhm — der eine Analogmaschine baute, um Fourier-Reihen bis zu 75 Termen zu berechnen. Als er eine diskontinuierliche Funktion aus ihren Koeffizienten rekonstruierte, zeigte die Maschine ein hartnäckiges Überschwingen in der Nähe des Sprungs.
Michelson fragte lokale Mathematiker. Sie beschuldigten die Ausrüstung. Nur Gibbs hörte zu.
Das Gibbs-Phänomen: Wenn eine auf N Terme abgekürzte Fourier-Reihe eine Sprungunstetigkeit approximiert, übersteigt die Approximation um ungefähr 8,9% der Sprunghöhe — & dieses Überschwingen sinkt NICHT, wenn N zunimmt. Mehr Terme verengen den Überschwingspitz, aber eliminieren ihn nie.
Mathematisch: Die N-Term-Fourier-Reihe konvergiert punktweise überall außer bei der Unstetigkeit. Bei der Unstetigkeit konvergieren die Partialsummen zum Mittelpunkt des Sprungs, aber das Maximum der Partialsumme in der Nähe des Sprungs nähert sich 1,0895 (für einen Sprung der Höhe Eins), nicht 1,0.
Warum es für Filter wichtig ist
Ein idealer Tiefpassfilter hat eine Sprung-Übertragungsfunktion: H(f) = 1 für f < f_c, H(f) = 0 für f > f_c. Diese Unstetigkeit zwischen Durchlassband & Sperrband bedeutet, dass jeder Filter endlicher Länge (abgekürzte Fourier-Reihe) Gibbs-Welligkeit in seiner Frequenzantwort zeigt.
Die Konsequenz: Der alleinige Entwurf mit abgekürzter Fourier-Reihe erzeugt Filter mit ≈9% Welligkeit in Durchlass- & Sperrband, unabhängig davon, wie viele Koeffizienten verwendet werden.
Implikationen des Gibbs-Phänomens
Hamming verwendete dieses Ergebnis, um Fensterfunktionen zu motivieren: Multiplikation der idealen Fourier-Koeffizienten mit einem sanft auslaufenden Fenster reduziert das Gibbs-Überschwingen dramatisch.
Das Hamming-Fenster: w_k = 0,54 + 0,46·cos(πk/N). Dieses Fenster reduziert Gibbs-Welligkeit auf weniger als 0,2%.
Der Kompromiss: Fensterung glättet den Übergang, verbreitert aber das Übergansband. Ein schärferer Schnitt erfordert immer mehr Koeffizienten.