Due Condizioni, Due Coefficienti
Un filtro con k+1 coefficienti liberi può soddisfare esattamente k+1 condizioni sulla sua funzione di trasferimento. Hamming ha dimostrato questo con il caso più semplice non banale: due coefficienti, due condizioni.
Le Condizioni
- A f = 1/6: H(1/6) = 1 (questa frequenza passa invariata)
- A f = 1/3: H(1/3) = 0 (questa frequenza è completamente bloccata)
La Forma del Filtro
Un filtro che utilizza due coefficienti a e b con ingresso x_n e un ritardo:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Sostituzione della Funzione Propria
Ingresso e^{i2πfn}, uscita H(f) · e^{i2πfn}. Il lato destro dà:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
Dividere per e^{i2πfn}:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Ora applica le due condizioni per ottenere due equazioni in due incognite.
Risoluzione dei Coefficienti
Sostituendo f = 1/6 in H(f) = a + b·e^{−i2πf}:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
Sostituendo f = 1/3:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Da queste due equazioni, Hamming ha risolto per ottenere a = 1/2, b = 1/2 — lo stesso di una media su 3 campioni (con l'uscita alla posizione centrale).
Il Filtro Completo
Il filtro che soddisfa entrambe le condizioni ha la forma:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
L'uscita alla posizione n utilizza i campioni di ingresso precedente, attuale & prossimo.
Funzione di trasferimento:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Verifica:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
A altre frequenze: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (passa CC con guadagno), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
Intuizione: un filtro digitale implementa in software ciò che un filtro RC analogico implementa in hardware. La scelta dei coefficienti controlla la risposta in frequenza analiticamente.
Funzione di Trasferimento a Più Frequenze
La funzione di trasferimento H(f) = cos(2πf) + 1/2 si applica a ogni frequenza, non solo ai due punti di progettazione.
La Scoperta di Gibbs
Hamming ha raccontato la storia di Michelson — del famoso Michelson-Morley — che ha costruito una macchina analogica per calcolare le serie di Fourier fino a 75 termini. Quando ha ricostruito una funzione discontinua dai suoi coefficienti, la macchina ha mostrato un overshoot persistente vicino al salto.
Michelson ha chiesto ai matematici locali. Hanno incolpato l'attrezzatura. Solo Gibbs ha ascoltato.
Il fenomeno di Gibbs: quando una serie di Fourier troncata a N termini approssima una discontinuità a scalino, l'approssimazione supera di circa l'8,9% dell'altezza del salto — e questo overshoot NON diminuisce al aumentare di N. Più termini restringono il picco di overshoot ma non lo eliminano mai.
Matematicamente: la serie di Fourier a N termini converge puntualmente ovunque tranne alla discontinuità. Alla discontinuità, le somme parziali convergono al punto medio del salto, ma il massimo della somma parziale vicino al salto si avvicina a 1.0895 (per un salto di altezza unitaria), non a 1.0.
Perché è Importante per i Filtri
Un filtro passa-basso ideale ha una funzione di trasferimento a funzione gradino: H(f) = 1 per f < f_c, H(f) = 0 per f > f_c. Quella discontinuità tra la banda passante & la banda di arresto significa che qualsiasi filtro di lunghezza finita (serie di Fourier troncata) mostra ripple di Gibbs nella sua risposta in frequenza.
La conseguenza: la progettazione basata su serie di Fourier troncata da sola produce filtri con ripple ≈9% sia nella banda passante che nella banda di arresto, indipendentemente da quanti coefficienti vengono utilizzati.
Implicazioni del Fenomeno di Gibbs
Hamming ha utilizzato questo risultato per motivare le funzioni di finestra: moltiplicare i coefficienti di Fourier ideali per una finestra dolcemente rastremata riduce drammaticamente l'overshoot di Gibbs.
La finestra di Hamming: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Questa finestra riduce il ripple di Gibbs a meno dello 0,2%.
Il compromesso: il windowing liscia la transizione ma allarga la banda di transizione. Un taglio più netto richiede sempre più coefficienti.