정식 체계를 방향 그래프로 보기
정식 공리 체계는 방향 그래프를 정의한다:
- 정점: 체계의 기호로부터 구성할 수 있는 모든 정형 공식
- 간선: 추론 단계 — 하나의 공식이 추론 규칙에 따라 다른 것들로부터 따라나온다
- 공리: 들어오는 간선이 없는 구별되는 시작 정점들
- 정리: 공리 집합으로부터 도달 가능한 모든 정점들
정리 T의 증명: 공리 집합으로부터 T로의 방향 경로. 증명은 정점들의 수열 A₁, A₂, ..., Aₙ = T이며, 여기서 각 단계는 추론 규칙에 따라 따라나온다.
정식 체계의 두 가지 기본 성질을 기하학적으로 표현하면:
일관성: 공리로부터 공식 F와 그 부정 ¬F가 모두 도달 가능하지 않다. 기하학적으로: 정리 정점 F와 정리 정점 ¬F가 모두 도달 가능하지 않다. '폭발' 경로는 존재하지 않는다.
완전성: 모든 공식 F 또는 ¬F가 정리이다 (도달 가능하다). 기하학적으로: 모든 정점 F에 대해, F 또는 ¬F 중 적어도 하나가 공리로부터의 경로를 가지는 의미에서 그래프는 강하게 연결되어 있다.
괴델 불완전성을 기하학적 성질로 보기
쿠르트 괴델은 1931년에 기본 산술을 표현할 수 있을 정도로 충분히 강력한 어떤 일관된 정식 체계도 불완전이라는 것을 증명했다: G와 ¬G 모두 증명 가능하지 않은 공식 G들이 존재한다.
기하학적으로: 충분히 풍부한 일관된 정식 체계에서, 공리로부터 도달 불가능한 공식 그래프의 정점들이 있다 — 정점 G도 정점 ¬G도 공리 집합으로부터의 경로를 갖지 않는다.
괴델의 구성: 그는 사실상 '나는 증명 가능하지 않다'라고 말하는 공식 G를 부호화했다. G가 증명 가능했다면, 체계는 일관되지 않을 것이다 (참인 명제가 증명 불가능하다고 말한다). ¬G가 증명 가능했다면, 체계는 일관되지 않을 것이다 (G는 거짓이지만 체계는 그것을 증명한다). 따라서 G도 ¬G도 증명 가능하지 않다 — G는 일관된 체계에서 도달 불가능한 정점이다.
불완전성은 선택된 공리의 결함이 아니다: 괴델은 그것이 산술을 다루기에 충분히 표현력 있는 어떤 일관된 체계의 구조적 성질임을 보였다. 도달 불가능한 정점들은 새로운 것들을 생성하지 않고서는 더 많은 공리를 추가하여 제거할 수 없다.
수학적 대상들을 공간의 점으로 보기
수학의 플라톤적 관점은 기하학적으로 정식화할 수 있다: 수학적 대상들은 추상적 공간에 거주하며, 그 공간의 점들은 대상들 자체이고, 그 공간의 구조는 그들 사이의 관계에 의해 주어진다.
자연수 ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}를 생각해보자. 약수 관계는 부분 순서를 정의한다: m이 n을 나누면 m | n이다. 이 부분 순서는 기하학을 정의한다 — 약수성 격자의 하세 도표.
모든 소수는 1 위의 최소 위치에 앉는다. 모든 합성수는 그 소인수들 위에 앉는다. 이 공간의 구조는 모든 수론을 부호화한다.
이것이 플라톤적인 이유: 그 구조는 어떤 마음이 그것을 연구하든 존재한다. 7이 소수라는 사실 — 7이 1과 7 사이에 약수를 갖지 않는다는 사실 — 은 약수성 격자에서 7의 위치에 관한 사실이며, 표기법, 문화, 또는 문명과 무관하다.
산술과 약수성을 조사하는 어떤 문명도 같은 구조를 발견할 것이다. 수 체계의 기하학은 보편적이다.
약수성 격자를 항해하기
약수성 격자에서, 두 수의 최소공배수(lcm)는 그들의 상한의 최소값(join)에 대응되고, 최대공약수(gcd)는 그들의 하한의 최대값(meet)에 대응된다.
gcd는 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)이며, b = 0일 때 종료된다.
추상화가 제거하는 것들
기하학적 추상화: 고차원 대상을 저차원 부분공간에 투영하는 것. 투영은 정보를 잃는다 (부분공간에 없는 좌표들) 하지만 부분공간 구조를 완벽하게 유지한다.
수학적 추상화는 같은 방식으로 작동한다. 군(group)은 네 가지 공리를 만족하는 하나의 이진 연산을 갖는 집합이다. 군 구조로 추상화하면 제거되는 것들: 구체적 원소들, 그 연산의 계산 규칙, 추가 구조 (순서, 거리, 위상). 남는 것: 네 공리 골격.
이점: 군에 관한 모든 정리는 모든 군에 적용된다 — 덧셈 아래의 정수, 합성 아래의 회전, 합성 아래의 순열, 분자의 대칭, 다항식의 갈루아 군 — 동시에. 추상 정리는 한 번 증명되면; 그 인스턴스들은 무료다.
순수 수학자들이 정의역 특화 가정을 추가하는 것을 저항하는 이유: 각 추가된 가정은 정리의 적용 가능성을 제한한다. 군에 관한 정리는 체(field) 정리보다 더 많은 구조에 적용된다 (체는 곱셈 역원을 추가함). 환(ring) 정리는 더 넓게 적용된다 (곱셈 역원 필요 없음).
정확성-일반성 절충
절충이 있다: 더 추상적인 정리는 더 널리 적용되지만 구체적 인스턴스에 대해서는 더 적게 말한다. 체에 관한 정리는 ℝ^n에 관한 정리보다 ℝ^n에 대해서는 덜 말한다 (여기서 거리와 각도가 정의된다).
해밍의 암시적 규칙: 필요한 성질들을 유지하면서 가능한 한 멀리 추상화하시오. 너무 멀리 추상화하면 정리는 공허하게 일반적이 된다 ('어떤 집합이든 어떤 연산이든 ...'). 너무 적게 추상화하면 정리는 새로운 응용으로 전이되지 못한다.