有向グラフとしての形式体系
形式公理体系は有向グラフを定義する：
- 頂点：体系の記号から構成可能なすべての整形式（well-formed formula）
- 辺：推論ステップ — 推論規則によって他の式から導かれた1つの式
- 公理：入辺がない特別な源頂点
- 定理：公理集合から到達可能なすべての頂点
定理 T の証明：公理集合から T への有向経路。証明は頂点 A₁, A₂, ..., Aₙ = T の列で、各ステップが推論規則に従う。
形式体系の2つの基本的性質を幾何学的に表現：
無矛盾性：式 F とその否定 ¬F が両方とも公理から到達可能ではない。幾何学的には：定理の頂点 F と定理の頂点 ¬F が両方とも到達可能ではない。「爆発」経路は存在しない。
完全性：すべての式 F または ¬F が定理である（到達可能）。幾何学的には：グラフがすべての頂点 F に対して、F または ¬F のいずれかが公理からの経路を持つ意味で強く連結している。
幾何学的性質としてのゲーデル不完全性
Kurt Gödel は1931年に、基本的な算術を表現できるほど強力なすべての無矛盾の形式体系は不完全であることを証明した：G も ¬G も証明可能でない式 G が存在する。
幾何学的には：十分に豊かな無矛盾の形式体系では、公理集合から到達不可能な式グラフの頂点が存在する — 頂点 G も頂点 ¬G も公理集合からの経路を持たない。
ゲーデルの構成：彼は事実上「私は証明不可能である」と言う式 G をエンコードした。もし G が証明可能なら、体系は矛盾している（真の文が自分は証明不可能だと言っている）。もし ¬G が証明可能なら、体系は矛盾している（G は偽だが体系が証明している）。したがって、G も ¬G も証明可能ではない — G は無矛盾の体系で到達不可能な頂点である。
不完全性は選ばれた公理の欠陥ではない：ゲーデルは算術を処理するのに十分な表現力を持つすべての無矛盾の体系の構造的性質であることを示した。到達不可能な頂点は、新しい公理を追加しても削除できない（新しい不完全性が生成される）。
空間内の点としての数学的対象
数学のプラトン的見方は幾何学的に形式化できる：数学的対象は抽象空間に存在し、その点がオブジェクト自体であり、その構造はそれらの間の関係によって与えられる。
自然数 ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} を考える。整除関係は半順序を定義する：m は n を割り切る iff m | n。この半順序は幾何学を定義する — 整除格子のハッセ図である。
すべての素数は1の上の最小位置に位置する。すべての合成数は素因数の上に位置する。この空間の構造はすべての数論をエンコードしている。
これをプラトン的にする点：その構造は誰かが研究しているかどうかにかかわらず存在する。7が素数であるという事実 — 7が1と7の間に約数がない — は、記号、文化、または文明に関係なく、整除格子における7の位置についての事実である。
数える方法と整除性を調査するすべての文明は同じ構造を発見するだろう。数体系の幾何学は普遍的である。
整除格子をナビゲートする
整除格子では、2つの数の最小公倍数（lcm）は結合（最小上限）に対応し、最大公約数（gcd）は交わり（最大下限）に対応する。
gcdはユークリッドアルゴリズムで計算できる：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)、b = 0 になるまで続く。
抽象化が取り除くもの
幾何学的抽象化：高次元オブジェクトを低次元の部分空間に射影する。射影は情報を失う（部分空間にはない座標）が、部分空間の構造は完璧に保持される。
数学的抽象化も同じように機能する。群は1つの二項演算と4つの公理を満たす集合である。群構造に抽象化すると取り除かれるもの：特定の要素、特定の演算の計算規則、追加の構造（順序、距離、位相）。残るもの：4つの公理の骨組み。
利益：群についてのすべての定理はすべての群に適用される — 加算の整数、合成の回転、合成の順列、分子の対称性、多項式方程式のガロア群 — 同時に。抽象的な定理は一度証明され、その例は無料である。
これが純粋数学者がドメイン固有の仮定を追加することに抵抗する理由である：追加される仮定は定理の適用性を制限する。環（乗法逆がない）についての定理は体（乗法逆がある）についての定理より多くの構造に適用される。
精度・一般性のトレードオフ
トレードオフがある：より抽象的な定理はより広く適用されるが、特定のインスタンスについてはより少ないことを言う。体上のベクトル空間についての定理は ℝ^n についての定理（距離と角度が定義される）より ℝ^n についてはより少ないことを言う。
ハミングの示唆的な規則：必要な性質を保持しながらできるだけ抽象化する。抽象化しすぎると、定理は空虚に一般的になる（「任意の集合を任意の演算とすれば...」）。抽象化が少なすぎると、定理が新しい応用に転送されない。