النظام الرسمي كرسوم موجهة
يحدد نظام رسمي رسميًا رسومًا موجهة:
- الأركان: جميع الصيغ الجيدة المبنية من رموز النظام
- الخطوط: خطوات الاستدلال — واحدة من الصيغ تتبع من غيرها بناءً على قاعدة الاستدلال
- الأصول: الأركان المتميزة المصدر مع عدم وجود خطوط وصولية
- المثبتات: جميع الأركان المتصل من مجموعة الأصول
برهان من المثبت T: سلسلة من الأركان A₁, A₂, ..., Aₙ = T حيث يتبع كل خطوة بناءً على قاعدة الاستدلال.
أهمية نظام رسميين أساسيين، تعبيرت هندسيًا:
التحقق: لا توجد صيغة F وتناقضها ¬F هما متصلان من الأصول. هندسيًا: الركن المثبت للصيغة F والركن المثبت للصيغة ¬F ليسا متصلين. لا توجد مسار تفجير.
التكميلية: كل صيغة F أو ¬F هي مثبتة (متصل). هندسيًا: الفضاء المرسوم هو متصل قويًا بمعنى أن لكل صيغة F، على الأقل واحدة من F أو ¬F لديها مسار من الأصول.
مبدأ غير التكميلية غودل كملكية هندسية
أثبت كورت غودل في 1931 أن أي نظام رسمي قوي بما يكفي لتوضيح الأرقام الأساسية غير مكتمل: هناك صيغات G لا يمكن إثباتها G أو ¬G.
هندسيًا: في أي نظام رسمي كافٍ مستقر، هناك أركانه في الرسم المرسوم للصيغ لا يمكن الوصول إليه من الأصول — لا يوجد للركن G أو للركن ¬G مسار من مجموعة الأصول.
بناء غودل: قام بتركيب صيغة G تقول في الواقع: 'أنا غير قابل للبرهان.' إذا كان G قابلًا للبرهان، فإن النظام كان غير متوافق (تصديق بيان يقول أنه ليس قابلًا للبرهان). إذا كان ¬G قابلًا للبرهان، فإن النظام كان غير متوافق (G هو خاطئ لكن النظام يثبت أنه صحيح). لذا لا يوجد G أو ¬G قابل للبرهان — G هو ركن غير قابل للوصول في نظام مستقر.
عدم التمام ليس عيباً في الخواص المختارة: أظهر غودل أنه خاصية بنائية لجميع النظام المستقر الذي يكفي للاعتماد في الحساب. لا يمكن إزالة النقاط غير الموصولة بواسطة إضافة أكثر من خواص دون إنتاج خواص جديدة.
المجالات الرياضية كأنواع في فضاء
يمكن تدوين نظرية بلاتون في الرياضيات هندسياً: تعيش المجالات الرياضية في فضاء مجرد يحتوي على النقاط هي المجالات نفسها والترابط بينها.
خذ الأعداد الطبيعية ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. العلاقات المتباينة تعرف ترتيب جزئي: m تقسم n إذا m | n. هذا الترتيب يحدد هندسة - مخطط هاس للترتيب الجدلي.
كل عدد أولي يقع في موقع منخفض فوق 1. كل عدد مركب يقع فوق عواملته الأولية. تركيب هذا الفضاء يحتوي على جميع نظرية الأعداد.
ما الذي يجعل هذا بلاتوني: التركيب يوجد بغض النظر عن الدراسة التي تمت بواسطة أي ذهن. حقيقة أن 7 عدد أولي - أن 7 ليس لديه عوامل بين 1 و7 - هي حقيقة عن موقع 7 في ترتيب الانقسام، مستقل عن العلامات والثقافة أو الحضارة.
كلاً منا يكتشف نفس المعرفه. نظام الأعداد الهندسي عالمي.
التنزيل الجذري للترتيب
في شبكة التجزئة، الأقل مشترك بين الأعداد (lcm) يطابق انضمام (الحد الأدنى الأعلى) والحد الأقصى المشترك (gcd) يطابق لقاء (الحد الأقصى الأدنى).
يمكن حساب gcd عن طريق الخوارزمية الأوروبية: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)، حتى يوقف عند b = 0.
ما يزيل التجريد
التجريد الهندسي: تصوير كائن ثلاثي الأبعاد على محاولة منخفضة الأبعاد. الخسارة المعلومات (التحديدات خارج المحاولة) ولكن يحتفظ بالتركيب المثالي في المحاولة.
تجريد الرياضيات يعمل بنفس الطريقة. المجموعة هي مجموعة مع عملية ثنائية واحدة تفي بأربعة معايير. التجريد إلى تركيب المجموعة يزيل: العناصر الخاصة، القاعدة الحسابية الخاصة للعملية، أي تركيب إضافي (الترتيب، القياس، التوبولوجيا). ما يبقى هو العمود الفقري الأربعة.
المكافأة: كل ما يخص المجموعات ينطبق على جميع المجموعات - الأعداد الصحيحة تحت الجمع، الدورات تحت التركيب، التغييرات تحت التركيب، انكسارات جزيئية، مجموعات غالوا للمعادلات الجبرية - في آن واحد. النظرية التجريدية يمكن أن تثبت مرة واحدة؛ مثيلاتها مجانية.
هذا هو السبب في أن الرياضيين النظائر يرفضون إضافة التوقعات المحددة للمجال: كل توقيع إضافي يقيّد تطبيقات المعيار. معيار عن المجالات (إضافة العكس المضاعف) ينطبق على عدد أقل من الهيكليات من معيار عن الحلقات (لا تتطلب العكس المضاعف).
تبادل الدقة-العُمق
存在一个平衡：理论越抽象，它们就越广泛适用，但却说得越少关于具体实例。关于向量空间的理论对 ℝ^n 说得少于 ℝ^n 的特定理论（在那里定义了距离和角度）。
Hamming 的暗示规则：尽可能地抽象，但要保留所需的属性。抽象过多，你的理论就会变得空洞（任何集合与任何操作满足...）。抽象不足，你的理论就会在新的应用中失效。