النظام الرسمي كرسم بياني موجه
نظام رسمي مسلم يعرّف رسمًا بيانيًا موجهًا:
- الرؤوس: جميع الصيغ المعروضة بشكل صحيح القابلة للبناء من رموز النظام
- الحواف: خطوات الاستدلال — تتبع صيغة واحدة من صيغ أخرى بواسطة قاعدة الاستدلال
- المسلمات: رؤوس المصدر المميزة بدون حواف واردة
- النظريات: جميع الرؤوس التي يمكن الوصول إليها من مجموعة المسلمات
إثبات النظرية T: مسار موجه من مجموعة المسلمات إلى T. الإثبات عبارة عن سلسلة من الرؤوس A₁, A₂, ..., Aₙ = T حيث تتبع كل خطوة بقاعدة الاستدلال.
خاصيتان أساسيتان لنظام رسمي، معبر عنهما هندسيًا:
الاتساق: لا يمكن الوصول إلى صيغة F ونفيها ¬F معًا من المسلمات. هندسيًا: رأس النظرية F ورأس النظرية ¬F ليسا مسيرين معًا. لا يوجد مسار 'انفجار'.
الاكتمال: كل صيغة F أو ¬F هي نظرية (قابلة للوصول). هندسيًا: الرسم البياني متصل بقوة بمعنى أنه لكل رأس F، يوجد مسار من المسلمات على الأقل من F أو ¬F.
عدم اكتمال جودل كخاصية هندسية
أثبت كورت جودل في عام 1931 أن أي نظام رسمي متسق قوي بما يكفي للتعبير عن الحسابات الأساسية هو ناقص: توجد صيغ G بحيث لا يمكن إثبات G ولا ¬G.
هندسيًا: في أي نظام رسمي متسق غني بما يكفي، توجد رؤوس في الرسم البياني الصيغي التي لا يمكن الوصول إليها من المسلمات — لا رأس G ولا رأس ¬G له مسار من مجموعة المسلمات.
بناء جودل: قام بترميز صيغة G التي تقول، في الواقع، 'أنا غير قابلة للإثبات'. إذا كان G يمكن إثباته، فسيكون النظام غير متسق (عبارة صحيحة تقول أنها غير قابلة للإثبات). إذا كان ¬G يمكن إثباته، فسيكون النظام غير متسق (ستكون G خاطئة لكن النظام يثبتها). إذن لا يمكن إثبات G ولا ¬G — G هو رأس غير قابل للوصول في نظام متسق.
عدم الاكتمال ليس عيبًا في المسلمات المختارة: أظهر جودل أنها خاصية هيكلية لأي نظام متسق قوي بما يكفي للتعامل مع الحسابات. لا يمكن إزالة الرؤوس غير القابلة للوصول بإضافة المزيد من المسلمات دون توليد رؤوس جديدة.
الكائنات الرياضية كنقاط في فضاء
يمكن تشكيل وجهة النظر الأفلاطونية للرياضيات هندسيًا: الكائنات الرياضية تسكن فضاءً تجريديًا تكون نقاطه هي الكائنات نفسها وتُعطى بنيته بالعلاقات بينها.
ضع في اعتبارك الأعداد الطبيعية ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. علاقة القسمة تحدد ترتيبًا جزئيًا: m يقسم n إذا وفقط إذا m | n. هذا الترتيب الجزئي يحدد هندسة — مخطط هاسه لشبكة القسمة.
كل عدد أولي يقع في موضع أدنى فوق 1. كل عدد مركب يقع فوق عوامله الأولية. بنية هذا الفضاء تشفر كل نظرية الأعداد.
ما يجعل هذا أفلاطونيًا: البنية موجودة سواء درس أحد ما العقل أم لا. حقيقة أن 7 أولي — أن 7 ليس لديه قواسم بين 1 و 7 — هي حقيقة عن موضع 7 في شبكة القسمة، مستقلة عن الرموز أو الثقافة أو الحضارة.
أي حضارة تحقق في العد والقسمة ستكتشف نفس البنية. الهندسة نظام الأعداد عامة.
التنقل في شبكة القسمة
في شبكة القسمة، المضاعف المشترك الأصغر (lcm) لعددين يقابل الدمج (الحد الأعلى الأدنى) والمقسوم العام الأكبر (gcd) يقابل اللقاء (الحد الأدنى الأكبر).
يمكن حساب gcd عبر خوارزمية إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)، وينتهي عندما b = 0.
ما يزيله التجريد
التجريد الهندسي: إسقاط كائن عالي الأبعاد على فضاء جزئي ذي أبعاد أقل. الإسقاط يفقد المعلومات (الإحداثيات غير الموجودة في الفضاء الجزئي) لكن يحتفظ بهيكل الفضاء الجزئي بشكل مثالي.
يعمل التجريد الرياضي بنفس الطريقة. المجموعة هي مجموعة بعملية ثنائية واحدة تحقق أربع مسلمات. التجريد إلى هيكل المجموعة يزيل: العناصر المحددة، القاعدة الحسابية للعملية المحددة، أي بنية إضافية (الترتيب، المقياس، الطوبولوجيا). ما يبقى: هيكل المسلمات الأربع.
العائد: كل نظرية حول المجموعات تنطبق على جميع المجموعات — الأعداد الصحيحة تحت الإضافة، الدورات تحت التكوين، التبديلات تحت التكوين، تماثلات الجزيء، مجموعات جالوا للمعادلات كثيرة الحدود — في نفس الوقت. النظرية المجردة قابلة للإثبات مرة واحدة؛ حالاتها مجانية.
هذا هو السبب في مقاومة الرياضيين الخالصين لإضافة افتراضات خاصة بالمجال: كل افتراض مضاف يقيد قابلية تطبيق النظرية. نظرية عن الحقول (إضافة المعكوس الضربي) تنطبق على عدد أقل من الهياكل أكثر من نظرية عن الحلقات (لا يلزم المعكوس الضربي).
مقايضة الدقة والعمومية
هناك مقايضة: النظريات الأكثر تجريدًا تنطبق على نطاق أوسع لكن تقول أقل عن الحالات المحددة. نظرية عن فضاءات المتجهات فوق حقل تقول أقل عن ℝ^n من نظرية محددة عن ℝ^n (حيث يتم تحديد المسافة والزاوية).
القاعدة المشار إليها من قبل هامنج: تجريد بأقصى حد ممكن مع الاحتفاظ بالخصائص التي تحتاجها. تجريد بعيد جدًا وستصبح نظرياتك عامة بشكل فارغ ('أي مجموعة بأي عملية تحقق...'). تجريد قليل جدًا وستفشل نظرياتك في الانتقال إلى تطبيقات جديدة.