ფორმალური სისტემა, როგორც მიმართული გრაფი
ფორმალური აქსიომატური სისტემა განსაზღვრავს მიმართულ გრაფს:
- ვერტიქსები: ყველა კარგად ჩამოყალიბებული ფორმულა, რომელიც მშენებელი სისტემის სიმბოლოებიდან
- რიბები: ნიმუშის ნაბიჯები — ერთი ფორმულა მოჰყვება სხვებს ნიმუშის წესით
- აქსიომები: განასხვავებული წყაროს ვერტიქსები შემომავალი რიბების გარეშე
- თეორემები: ყველა ვერტიქსი, რომელიც მისაწვდომელია აქსიომების ნაკრებიდან
დამტკიცება თეორემა T: მიმართული გზა აქსიომების ნაკრებიდან T-მდე. დამტკიცება არის ვერტიქსების თანმიმდევრობა A₁, A₂, ..., Aₙ = T, სადაც თითოეული ნაბიჯი მოჰყვება ნიმუშის წესით.
ფორმალური სისტემის ორი ფუნდამენტური თვისება, გეომეტრიულად გამოხატული:
თანმიმდევრობა: არცერთი ფორმულა F და მისი უარყოფა ¬F არ არის ორივე მისაწვდომელი აქსიომებიდან. გეომეტრიულად: თეორემის ვერტიქსი F და თეორემის ვერტიქსი ¬F არ არის ორივე მისაწვდომელი. არცერთი „აფეთქების" გზა არ არსებობს.
სრულობა: თითოეული ფორმულა F ან ¬F არის თეორემა (მისაწვდომელი). გეომეტრიულად: გრაფი ძლიერ დაკავშირებულია იმ გაგებით, რომ თითოეული ვერტიქსის F-ის მაგივრად, F ან ¬F-დან ერთი მაინც აქვს გზა აქსიომებიდან.
გიდელის არასრულობა, როგორც გეომეტრიული თვისება
კურტ გიდელმა 1931 წელს დაამტკიცა, რომ ნებისმიერი თანმიმდევრი ფორმალური სისტემა, რომელიც საკმარისია ძირითადი არითმეტიკის გამოხატატებისთვის, არის არასრული: არსებობენ ფორმულები G, რომელიც გამყოფი გამომდინარე G ან ¬G არ არის დამტკიცებული.
გეომეტრიულად: ნებისმიერი საკმარისად მდიდარი თანმიმდევრი ფორმალური სისტემაში, არის ვერტიქსები ფორმულის გრაფში, რომლებიც მისაწვდომელი არ არის აქსიომებიდან — არცერთი ვერტიქსი G ან ¬G აქვს გზა აქსიომების ნაკრებიდან.
გიდელის კონსტრუქცია: მან დაკოდირა ფორმულა G, რომელიც ამბობს, რაღაც აზრით, „მე არ ვარ დამტკიცებული." თუ G იყო დამტკიცებული, სისტემა იქნებოდა თანმიმდევრი (ჭეშმარიტი განცხადება ამბობს, რომ ის დამტკიცებული არ არის). თუ ¬G იყო დამტკიცებული, სისტემა იქნებოდა თანმიმდევრი (G აიძულებდა ყალბი, მაგრამ სისტემა დამტკიცებს მას). ასე რომ არცერთი G ან ¬G დამტკიცებული არ არის — G არის მიუწვდომელი ვერტიქსი თანმიმდევრი სისტემაში.
არასრულობა არ არის არჩეული აქსიომების ხარვეზი: გიდელმა აჩვენა, რომ ეს არის სტრუქტურული თვისება ნებისმიერი თანმიმდევრი სისტემის, რომელიც საკმარისად გამოხატატებული არითმეტიკის მაგივრად. მიუწვდომელი ვერტიქსები არ შეიძლება ამოღებული იყოს თავიანთი აქსიომების დამატებით ახალი ქვესისტემების გარეშე.
მათემატიკური ობიექტები, როგორც წერტილები სივრცეში
მათემატიკის პლატონური ხედვა შეიძლება ფორმალიზდეს გეომეტრიულად: მათემატიკური ობიექტები დგანან აბსტრაქტულ სივრცეში, რომელი წერტილებია თავიანთი ობიექტები და სტრუქტურა მათ შორის ურთიერთობებით მოცემული.
განიხილეთ ნატურალური რიცხვები ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. გამყოფობის ურთიერთობა განსაზღვრავს ნაწილობრივ წესრიგს: m ყოფს n, თუ m | n. ეს ნაწილობრივი წესრიგი განსაზღვრავს გეომეტრიას — გამყოფობის გისეს ჰასე დიაგრამა.
თითოეული მარტივი რიცხვი იჯდა მინიმალურ პოზიციაზე 1-ზე ზემოთ. თითოეული კომპოზიტური რიცხვი დგას მის მარტივი ფაქტორების ზემოთ. ამ სივრცის სტრუქტურა კოდირებს რიცხვთეორიის ყველა სახელი.
რა ხდის ამას პლატონურს: სტრუქტურა არსებობს, ხელი შეუწყო თუ არა რომელი გონება შეისწავლის მას. ფაქტი, რომ 7 არის მარტივი — რომ 7 აქვს არცერთი გამყოფი 1 და 7-ს შორის — არის ფაქტი გამყოფობის გისეს პოზიციის შესახებ, დამოუკიდებელი აღნიშვნისა, კულტურის ან ცივილიზაციის.
ნებისმიერი ცივილიზაცია, რომელიც შეისწავლის დათვლას და გამყოფობას, აღმოაჩენს იგივე სტრუქტურას. რიცხვითი სისტემის გეომეტრია უნივერსალური.
გამყოფობის გისეში ნავიგაცია
გამყოფობის გისეში, ორი რიცხვის უმცროსი საერთო ჯერადი (lcm) შეესაბამება მათ შეერთებას (ყველაზე დაბალი ზედა ზღვარი) და უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) შეესაბამება მათ შეხვედრას (ყველაზე დიდი ქვედა ზღვარი).
gcd შეიძლება გამოითვალოთ ევკლიდეს ალგორითმის საშუალებით: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), დამთავრდეს b = 0 როდესაც.
რას ამოღებს აბსტრაქცია
გეომეტრიული აბსტრაქცია: მაღალი განზომილების ობიექტის პროექცია ქვედა განზომილების ქვესივრცეში. პროექცია კარგავს ინფორმაციას (კოორდინატი, რომელი არ არის ქვესივრცეში), მაგრამ ქვესივრცის სტრუქტურა იდეალურად უცვლელი რჩება.
მათემატიკური აბსტრაქცია იგივე გზით მუშაობს. ჯგუფი არის ერთი ორობითი ოპერაციის კომპლექტი ოთხი აქსიომა დამაკმაყოფილებელი. აბსტრაქციასთან ჯგუფის სტრუქტურაზე ისი ცდილობს ამოღება: ღირებული ელემენტები, ოპერაციის გაანგარიშებული წესი, ნებისმიერი დამატებითი სტრუქტურა (შეკვეთა, მეტრიკა, ტოპოლოგია). რა რჩება: ოთხი აქსიომა სკელეტი.
ხელოვნება: ყველა თეორემა ჯგუფების შესახებ ერთვებიან ყველა ჯგუფში — მთელი რიცხვები დამატების ქვეშ, ბრუნვები დანიშვულობის ქვეშ, გარდაქმნები დანიშვულობის ქვეშ, მოლეკულის სიმეტრია, პოლინომუმის გალუა ჯგუფი — ერთდროულად. წინასწარი თეორემა დამტკიცებული ერთჯერ; მის შემთხვევები უფასო.
ეს რატომ სუფთა მათემატიკოსები იკითხებენ დომენი-სპეციფიკური დაშვებების დამატებას: თითოეული დამატებული დაშვება უზღუდავი ოპერაციის მიმენებელი ფართობი. თეორემა ველების შესახებ (მრავალმხრივი ინვერსი დამატება) ვრცელდება ნაკლები სტრუქტურაზე, ვიდრე თეორემა რგოლების შესახებ (არა მრავალმხრივი ინვერსი საჭირო).
სიზუსტე-გენერალურობის ჯიბე
არის ჯიბე: უფრო აბსტრაქტული თეორემა უფრო ფართოდ გამოიყენება, მაგრამ ნებისმიერი სპეციფიკური შემთხვევის შესახებ ნაკლებს ამბობს. თეორემა ვექტორული სივრცის შესახებ იტყვის ნაკლებს ℝ^n-ის შესახებ, ვიდრე თეორემა კონკრეტულად ℝ^n-ის შესახებ (სადაც მანძილი და კუთხე განსაზღვრულია).
ჰამინგის ნაკბარი წესი: აბსტრაქტი რაც შეიძლება შორს თქვენი საჭირო თვისებების შენახვისას. აბსტრაქტი ძალიან შორს და თქვენი თეორემა ხდება უშედეგოდ გენერალური. აბსტრაქტი ძალიან ნაკლებ და თქვენი თეორემა ვერ გადაწერს ახალი გამოკვეთაზე.