औपचारिक प्रणाली एक निर्देशित ग्राफ के रूप में
एक औपचारिक अभिगृहीत प्रणाली एक निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करती है:
- शीर्ष: प्रणाली के प्रतीकों से निर्मित सभी सुरचना बने सूत्र
- किनारे: अनुमान चरण — एक सूत्र अन्य से अनुमान नियम द्वारा अनुसरण करता है
- अभिगृहीत: प्रमुख स्रोत शीर्ष कोई आने वाले किनारे नहीं
- प्रमेय: अभिगृहीत समुच्चय से सभी पहुंचने योग्य शीर्ष
प्रमेय T का एक प्रमाण: अभिगृहीत समुच्चय से T तक एक निर्देशित पथ। प्रमाण शीर्षों A₁, A₂, ..., Aₙ = T का एक क्रम है जहां प्रत्येक चरण अनुमान नियम द्वारा अनुसरण करता है।
एक औपचारिक प्रणाली के दो मौलिक गुण, ज्यामितीय रूप से व्यक्त:
संगति: कोई सूत्र F और इसका निषेध ¬F दोनों अभिगृहीत से पहुंचने योग्य नहीं हैं। ज्यामितीय रूप से: प्रमेय शीर्ष F और प्रमेय शीर्ष ¬F दोनों पहुंचने योग्य नहीं हैं। कोई 'विस्फोट' पथ मौजूद नहीं है।
पूर्णता: प्रत्येक सूत्र F या ¬F एक प्रमेय है (पहुंचने योग्य)। ज्यामितीय रूप से: ग्राफ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है इस अर्थ में कि प्रत्येक शीर्ष F के लिए, F या ¬F में से कम से कम एक अभिगृहीत से एक पथ है।
गोडेल अपूर्णता एक ज्यामितीय गुण के रूप में
कर्ट गोडेल ने 1931 में साबित किया कि कोई भी सुसंगत औपचारिक प्रणाली जो मूल अंकगणित को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली है अपूर्ण है: ऐसे सूत्र G मौजूद हैं कि न तो G और न ही ¬G सिद्ध है।
ज्यामितीय रूप से: किसी भी पर्याप्त रूप से समृद्ध सुसंगत औपचारिक प्रणाली में, सूत्र ग्राफ में ऐसे शीर्ष होते हैं जो अभिगृहीत से पहुंचने योग्य नहीं हैं — न तो शीर्ष G और न ही शीर्ष ¬G के पास अभिगृहीत समुच्चय से एक पथ है।
गोडेल का निर्माण: उन्होंने एक सूत्र G को एन्कोड किया जो प्रभावी रूप से कहता है, 'मैं सिद्ध नहीं हूं।' अगर G सिद्ध होता, तो प्रणाली असंगत होती (एक सत्य कथन कहती है कि यह सिद्ध नहीं है)। अगर ¬G सिद्ध होता, तो प्रणाली असंगत होती (G झूठा होता लेकिन प्रणाली इसे साबित करती है)। तो न तो G और न ही ¬G सिद्ध है — G एक सुसंगत प्रणाली में एक अपहुंचने योग्य शीर्ष है।
अपूर्णता चुने गए अभिगृहीत का एक दोष नहीं है: गोडेल ने दिखाया कि यह किसी भी सुसंगत प्रणाली की एक संरचनात्मक संपत्ति है जो अंकगणित को संभालने के लिए पर्याप्त व्यक्तिव्य है। अपहुंचने योग्य शीर्षों को अधिक अभिगृहीत जोड़े बिना नए बिना हटाया नहीं जा सकता।
गणितीय वस्तुएं एक स्पेस में बिंदु के रूप में
गणित का प्लेटोनिक दृष्टिकोण ज्यामितीय रूप से औपचारिक किया जा सकता है: गणितीय वस्तुएं एक अमूर्त स्पेस में रहती हैं जिसके बिंदु वस्तुएं स्वयं हैं और जिसकी संरचना उनके बीच संबंधों द्वारा दी जाती है।
प्राकृतिक संख्या ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} पर विचार करें। विभाज्यता संबंध एक आंशिक क्रम को परिभाषित करता है: m को n से विभाजित करता है iff m | n। यह आंशिक क्रम एक ज्यामिति को परिभाषित करता है — विभाज्यता जाली का Hasse आरेख।
प्रत्येक अभाज्य संख्या 1 के ऊपर एक न्यूनतम स्थान पर बैठती है। प्रत्येक भाज्य संख्या अपने अभाज्य कारकों के ऊपर बैठती है। इस स्पेस की संरचना सभी संख्या सिद्धांत को एन्कोड करती है।
यह क्या प्लेटोनिक बनाता है: संरचना तब भी मौजूद है जब कोई भी दिमाग इसका अध्ययन नहीं करता। तथ्य यह है कि 7 अभाज्य है — कि 7 के पास 1 और 7 के बीच कोई भाजक नहीं हैं — विभाज्यता जाली में 7 की स्थिति के बारे में एक तथ्य है, संकेतन, संस्कृति, या सभ्यता से स्वतंत्र।
कोई भी सभ्यता जो गिनती और विभाज्यता की जांच करती है वह समान संरचना की खोज करेगी। संख्या प्रणाली की ज्यामिति सार्वभौमिक है।
विभाज्यता जाली को नेविगेट करना
विभाज्यता जाली में, दो संख्याओं का न्यूनतम सार्व गुणज (lcm) उनके संयोजन (निम्नतम ऊपरी सीमा) के अनुरूप है और सबसे बड़ा सार्व भाजक (gcd) उनके मिलन (सबसे बड़ी निचली सीमा) के अनुरूप है।
gcd को यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म के माध्यम से गणना की जा सकती है: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), जब b = 0 पर समाप्त होता है।
अमूर्तता क्या हटाती है
ज्यामितीय अमूर्तता: एक उच्च-आयामी वस्तु को कम-आयामी उप-स्पेस पर प्रक्षेपित करना। प्रक्षेपण सूचना खो देता है (उप-स्पेस में नहीं के निर्देशांक) लेकिन उप-स्पेस संरचना को पूरी तरह सुरक्षित रखता है।
गणितीय अमूर्तता भी ऐसे ही काम करती है। एक समूह एक समुच्चय है जिसमें एक बाइनरी संचालन होता है जो चार अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। समूह संरचना को अमूर्त करने हटाता है: विशिष्ट तत्व, संचालन का विशिष्ट कम्प्यूटेशनल नियम, कोई अतिरिक्त संरचना (क्रम, मीट्रिक, टोपोलॉजी)। जो बचा है: चार-अभिगृहीत कंकाल।
लाभ: समूहों के बारे में हर प्रमेय सभी समूहों पर लागू होता है — जोड़ के तहत पूर्णांक, संरचना के तहत घुमाव, संरचना के तहत क्रमचय, अणु की समरूपता, बहुपद समीकरणों के गैलॉइस समूह — एक साथ। अमूर्त प्रमेय एक बार सिद्ध होता है; इसके उदाहरण मुफ्त हैं।
यह है कि क्यों शुद्ध गणितज्ञ डोमेन-विशिष्ट अनुमानों को जोड़ने का विरोध करते हैं: प्रत्येक जोड़ा गया अनुमान प्रमेय की प्रयोज्यता को प्रतिबंधित करता है। एक प्रमेय क्षेत्रों के बारे में (गुणक व्युत्क्रम जोड़ रहा है) एक प्रमेय के बारे में छल्ले की तुलना में कम संरचनाओं पर लागू होता है (कोई गुणक व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं)।
सटीकता-सामान्यता व्यापार
एक व्यापार है: अधिक अमूर्त प्रमेय अधिक व्यापक रूप से लागू होते हैं लेकिन विशिष्ट उदाहरणों के बारे में कम कहते हैं। एक प्रमेय सदिश स्पेस के बारे में ℝ^n के बारे में एक प्रमेय की तुलना में कम कहता है (जहां दूरी और कोण परिभाषित हैं)।
हैमिंग का अंतर्निहित नियम: जहां तक संभव हो अमूर्त करें लेकिन जरूरत वाली संपत्तियों को बनाए रखते हुए। बहुत दूर अमूर्त करें और आपके प्रमेय खाली हो जाते हैं ('किसी भी समुच्चय संपत्ति संतुष्ट करता है')। बहुत कम अमूर्त करें और आपके प्रमेय नई अनुप्रयोगों में स्थानांतरित करने में विफल हो जाते हैं।