Formalny System jako Skierowana Grafika
Formalny system aksjomatyczny definiuje skierowaną grafikę:
- Wierzchołki: wszystkie poprawne formuły konstruowane z symboli systemu
- Krawędzie: kroki dowodzenia - jedna formuła wynika z innych za pomocą reguły inferencyjnej
- Aksjomaty: wyodrębnione wierzchołki źródłowe bez wejściowych krawędzi
- Teoremy: wszystkie wierzchołki dostępne z zestawu aksjomatów
Dowód teoremy T: skierowana ścieżka z zestawu aksjomatów do T. Dowód to sekwencja wierzchołków A₁, A₂, ..., Aₙ = T, gdzie każdy krok następuje na podstawie reguły inferencyjnej.
Dwa podstawowe właściwości formalnego systemu, wyrażone geometrycznie:
Sprzeczność: żadna formuła F i jej negacja ¬F nie są obie dostępne z aksjomatów. Geometrycznie: wierzchołek teoretyczny F i wierzchołek teoretyczny ¬F nie są obie dostępne. Nie ma ścieżki 'wybuchu'.
Pełność: każda formuła F lub ¬F jest teorematem (dostępna). Geometrycznie: graf jest silnie połączony w sensie, że dla każdego wierzchołka F, przynajmniej jedna z F lub ¬F ma ścieżkę z aksjomatów.
Niesprzeczność Gödla jako Własność Geometryczna
Kurt Gödel udowodnił w 1931 roku, że dowolny zgodny formalny system wystarczająco potężny, aby wyrazić podstawowe arytmetykę, jest niespełniony: istnieją formuły G takie, że żadna z nich ani jej negacja nie jest udowodniona.
Geometrycznie: w jakiejkolwiek wystarczająco bogatej zgodnej formalnej systematy, istnieją wierzchołki w grafie formuł, które nie są dostępne z aksjomatów - żaden z wierzchołka G ani ¬G nie ma ścieżki z zestawu aksjomatów.
Konstrukcja Gödla: sformułował on formułę G, która mówi w skrócie, 'Nie jestem udowodniona.' Jeśli G byłby udowodniony, system byłby sprzeczny (prawda mówi, że nie jest udowodniona). Jeśli ¬G byłby udowodniony, system byłby sprzeczny (G byłby fałszywy, ale system udowadnia to). Dlatego ani G ani ¬G nie jest udowodnione - G jest niesie wierzchołek w zgodnym systemie.
Niezakończoność nie jest wadą wybranych aksjomatów: Gödel pokazał, że jest to własność strukturalna każdego zgodnego systemu wystarczająco wyrafinowanego, aby obsługiwać arytmetykę. Wierzchołki niedostępne nie można usunąć dodając więcej aksjomatów bez generowania nowych.
Obiekty matematyczne jako punkty w przestrzeni
Widzenie platońskie matematyki można zformalizować geometrycznie: obiekty matematyczne zamieszkują abstrakcyzną przestrzeń, w której punkty są samymi obiektami, a ich struktura jest określona przez relacje między nimi.
Rozważ liczby naturalne ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. Relacja dzielności określa częściowy porządek: m dzieli n, jeśli m | n. Ten częściowy porządek definiuje geometrię — diagram Hasse'a dla przekroju dzielności.
Każde liczby pierwsze zajmuje minimalną pozycję powyżej 1. Każda liczba skomplikowana zajmuje pozycję powyżej swych czynników pierwszych. Struktura tej przestrzeni koduje całą teorię liczb.
To, co czyni to widzeniem platońskim: struktura istnieje, nawet jeśli żaden umysł nie bada jej. Fakt, że 7 jest liczbą pierwszą — że 7 nie ma dzielników między 1 a 7 — to fakt o pozycji 7 w przekroju dzielności, niezależny od oznaczenia, kultury lub cywilizacji.
Jakąkolwiek cywilizację zainteresuje się liczeniem i dzielnością, odkryje tę samą strukturę. Geometria systemu liczbowego jest uniwersalna.
Poruszanie się po krzywej dzielności
W krzywej dzielności, najmniejszy wspólny mnożnik (lcm) dwóch liczb odpowiada ich łącznemu (najniższemu górnemu krawężnikowi) oraz największy wspólny dzielnik (gcd) odpowiada ich spotkaniu (najwyższemu dolnemu krawężnikowi).
Największy wspólny dzielnik można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), aż do chwili, gdy b = 0.
Co abstrakcja odkleiwa
Abstrakcja geometryczna: projekcja obiektu o wysokich wymiarach na niższym wymiarowej podprzestrzeni. Projektowanie traci informacje (koordynaty nie znajdujące się w podprzestrzeni), ale doskonale utrzymuje strukturę podprzestrzeni.
Matematyczna abstrakcja działa tak samo. Grupa to zbiór z jedną binarną operacją spełniającą cztery aksjomaty. Abstrahując na strukturę grupy odklejamy: konkretne elementy, konkretne reguły obliczania operacji, dodatkową strukturę (porządek, metrykę, topologię). Pozostaje: czterech aksjomatowy szkielet.
Zysk: każde twierdzenie dotyczące grup aplikuje się do WŁASNYCH grup - liczb całkowitych pod dodawaniem, obrotów pod kompozycją, permutacji pod kompozycją, symetrii cząsteczki, grup Galois równań algebraicznych - jednocześnie. Ogólne twierdzenie można udowodnić raz; jego warianty są darmowe.
Dlaczego matematycy czysti opierają się dodawaniu domenowych założeń: każde dodane założenie ogranicza zastosowanie teoremu. Twierdzenie o polach (dodawanie przeciwników mnożenia) ma zastosowanie do mniej struktur niż twierdzenie o pierścieniach (nie wymaga się przeciwników mnożenia).
Zrównoważony rozwój dokładności i ogólności
Jest kompromis: teoremy bardziej abstrakcyjne mają zastosowanie szersze, ale mówią mniej o konkretnych przypadkach. Twierdzenie o przestrzeniach wektorowych nad polem mówi mniej o ℝ^n niż twierdzenie specjalnie o ℝ^n (gdzie odległość i kąt są zdefiniowane).
Zasada Hamminga: abstrahuj jak najdalej, zachowując potrzebne właściwości. Abstrahuj zbyt daleko, a twoje teorie stają się bezdennie ogólne ('każde zbiór z jakąkolwiek operacją spełnia...'). Abstrahuj zbyt mało, a twoje teorie nie będą się przenosić na nowe zastosowania.