Biçimsel Sistem Yönlendirilmiş Grafik Olarak
Biçimsel bir aksiyomatik sistem yönlendirilmiş bir grafik tanımlar:
- Köşeler: sistemin sembolleri aracılığıyla inşa edilebilir tüm iyi biçimlendirilmiş formüller
- Kenarlar: çıkarım adımları — bir formül çıkarım kuralı tarafından diğerlerinden çıkar
- Aksiyomlar: hiçbir gelen kenarı olmayan ayırt edilmiş kaynak köşeler
- Teoremler: aksiyom kümesinden erişilebilir tüm köşeler
T teoreminin bir ispatı: aksiyom kümesinden T'ye yönlendirilmiş yol. İspat, çıkarım kuralı tarafından her adımın takip ettiği A₁, A₂, ..., Aₙ = T köşelerinin bir dizisidir.
Biçimsel bir sistemin iki temel özelliği geometrik olarak ifade edilir:
Tutarlılık: hiçbir formül F ve onun olumsuzlaması ¬F her ikisi de aksiyomlardan erişilebilir değildir. Geometrik olarak: teorem köşesi F ve teorem köşesi ¬F her ikisi de erişilebilir değildir. Hiçbir 'patlama' yolu yoktur.
Bütünlük: her formül F veya ¬F bir teoremdir (erişilebilir). Geometrik olarak: grafik güçlü şekilde bağlantılıdır öyle ki her köşe F için, aksiyomlardan en az F veya ¬F'nin yolu vardır.
Gödel Eksikliği Geometrik Bir Özellik Olarak
Kurt Gödel 1931'de temel aritmetiği ifade etmek için yeterince güçlü herhangi bir tutarlı biçimsel sistem eksik olduğunu kanıtladı: ne G ne de ¬G'nin ispatlanabilir olmadığı G formülleri vardır.
Geometrik olarak: yeterince zengin herhangi bir tutarlı biçimsel sistemde, formül grafiğinde aksiyomlardan erişilemeyen köşeler vardır — ne G köşesinin ne de ¬G köşesinin aksiyom kümesinden yolu vardır.
Gödel'in inşası: temelde 'İspatlanmıyorum' diyen bir G formülü kodladı. Eğer G ispatlanabilir olsaydı, sistem tutarsız olurdu (doğru bir ifade ispatlanabilir olmadığını söyler). Eğer ¬G ispatlanabilir olsaydı, sistem tutarsız olurdu (G yanlış olur ama sistem onu kanıtlar). Yani ne G ne de ¬G ispatlanabilir — G tutarlı bir sistemde erişilemeyen bir köşedir.
Eksiklik seçilen aksiyomların bir kusuru değildir: Gödel aritmetiği işlemek için yeterince ifadeye sahip herhangi bir tutarlı sistem için yapısal bir özellik olduğunu gösterdi. Erişilemeyen köşeler, tutarsızlık getirmeden daha fazla aksiyom eklenerek kaldırılamaz.
Matematiksel Nesneler Bir Uzayda Noktalar Olarak
Matematik'in Platonik görüşü geometrik olarak resmileştirilebilir: matematiksel nesneler, noktaları nesnelerin kendisi olan ve yapısı onların arasındaki ilişkilerle verilen soyut bir uzayda yaşarlar.
Doğal sayıları ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} düşünün. Bölünebilirlik ilişkisi kısmi bir sıra tanımlar: m, n'yi böler eğer m | n ise. Bu kısmi sıra bir geometri tanımlar — bölünebilirlik kafesin Hasse diyagramı.
Her asal sayı 1'in üzerinde minimal bir konumda oturur. Her bileşik sayı asal faktörleri üzerinde oturur. Bu uzayın yapısı tüm sayı teorisini kodlar.
Bunun Platonik olmasının nedeni: yapı herhangi birinin onu inceleyip incelemediğine bakılmaksızın vardır. 7'nin asal olması — 7'nin 1 ile 7 arasında böleni olmaması — bölünebilirlik kafesingde 7'nin konumu hakkında bir gerçektir, notasyon, kültür veya medeniyetten bağımsız olarak.
Sayma ve bölünebilirliği araştıran herhangi bir medeniyetin aynı yapıyı keşfedecektir. Sayı sistemi geometrisi evrenseldir.
Bölünebilirlik Kafesinde Gezinti
Bölünebilirlik kafesinde, iki sayının en küçük ortak katı (EKOK) onların birleşimine (en düşük üst sınır) ve en büyük ortak böleni (EBOB) onların buluşumuna (en büyük alt sınır) karşılık gelir.
EBOB Öklidyen algoritması aracılığıyla hesaplanabilir: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), b = 0 olduğunda sona erer.
Soyutlama Ne Çıkarır
Geometrik soyutlama: yüksek boyutlu bir nesneyi daha düşük boyutlu bir alt uzaya yansıtma. Projeksiyon bilgi kaybeder (alt uzayda olmayan koordinatlar) ancak alt uzay yapısını mükemmel şekilde korur.
Matematiksel soyutlama aynı şekilde çalışır. Bir grup, bir ikili işlem ve dört aksiyomu karşılayan bir kümedir. Grup yapısına soyutlama çıkarır: belirli öğeler, belirli işlemin hesaplaması kuralı, herhangi bir ek yapı (sıra, metrik, topoloji). Kalan: dört aksiyom iskeleti.
Kazanç: grup hakkındaki her teorem TÜM gruplara uygulanır — toplama altında tam sayılar, bileşim altında döndürmeler, bileşim altında permütasyonlar, bir molekülün simetrileri, polinom denklemlerinin Galois grupları — eş zamanlı olarak. Soyut teorem bir kez kanıtlanır; örnekleri ücretsizdir.
Saf matematikçilerin alan özgü varsayımlar eklemeye direnç göstermesi bundan dolayıdır: eklenen her varsayım teoremin uygulanabilirliğini kısıtlar. Alan hakkında bir teorem (çarpımsal tersi ekleme) halkalar hakkında bir teoremden daha az yapıya uygulanır (çarpımsal tersi gerekli değil).
Kesinlik-Genellik Dengelemesi
Bir denge vardır: daha soyut teoremler daha geniş şekilde uygulanır ancak belirli örnekler hakkında daha az söyler. Bir vektör uzayı hakkında bir teorem ℝ^n hakkında (mesafe ve açının tanımlandığı) özel bir teoremden daha az söyler.
Hamming'in ima edilen kuralı: ihtiyacınız olan özellikleri korurken olabildiğince soyutlayın. Çok soyutlayıp teoremleriniz boşluk olur ('herhangi bir kümesi herhangi bir işlemle...'). Çok az soyutlayıp teoremleriniz yeni uygulamalara transfer olmaz.