Het formele systeem als een gerichte graaf
Een formeel axiomatisch systeem definiëert een gerichte graaf:
- Hoekpunten: alle goed-gevormde formules die vanuit de symbolen van het systeem construeerbaar zijn
- Randen: afleidingsstappen — één formule volgt uit anderen via een afleidingsregel
- Axioma's: onderscheiden bronhoekpunten zonder inkomende randen
- Stellingen: alle hoekpunten bereikbaar vanuit de axioma-verzameling
Een bewijs van stelling T: een gericht pad van de axioma-verzameling naar T. Het bewijs is een reeks hoekpunten A₁, A₂, ..., Aₙ = T waarbij elke stap volgt uit een afleidingsregel.
Twee fundamentele eigenschappen van een formeel systeem, geometrisch uitgedrukt:
Consistentie: geen formule F en haar ontkenning ¬F zijn beide bereikbaar vanuit de axioma's. Geometrisch: het stellingshoekpunt F en het stellingshoekpunt ¬F zijn niet beide bereikbaar. Er bestaat geen 'explosie'-pad.
Volledigheid: elke formule F of ¬F is een stelling (bereikbaar). Geometrisch: de graaf is sterk verbonden in de zin dat voor elk hoekpunt F, minstens één van F of ¬F een pad van de axioma's heeft.
Gödel onvolledigheid als een meetkundige eigenschap
Kurt Gödel bewees in 1931 dat elk consistent formeel systeem dat krachtig genoeg is om basisrekenkunde uit te drukken onvolledig is: er bestaan formules G zodat noch G noch ¬G bewijsbaar is.
Geometrisch: in elk voldoende rijke consistente formeel systeem zijn er hoekpunten in de formulegraaaf die niet bereikbaar zijn vanuit de axioma's — noch het hoekpunt G noch het hoekpunt ¬G heeft een pad vanuit de axioma-verzameling.
Gödel's constructie: hij codereerde een formule G die zegt, in feite, 'Ik ben niet bewijsbaar.' Als G bewijsbaar was, zou het systeem inconsistent zijn (een ware uitspraak zegt dat het niet bewijsbaar is). Als ¬G bewijsbaar was, zou het systeem inconsistent zijn (G zou onwaar zijn maar het systeem bewijst het). Dus geen van beide G noch ¬G is bewijsbaar — G is een onbereikbaar hoekpunt in een consistent systeem.
De onvolledigheid is geen defect van de gekozen axioma's: Gödel toonde aan dat het een structurele eigenschap is van elk consistent systeem dat expressief genoeg is voor rekenkunde. De onbereikbare hoekpunten kunnen niet worden verwijderd door meer axioma's toe te voegen zonder nieuwe te genereren.
Wiskundige objecten als punten in een ruimte
De Platonische visie op wiskunde kan geometrisch worden geformaliseerd: wiskundige objecten bevinden zich in een abstracte ruimte waarvan de punten de objecten zelf zijn en waarvan de structuur wordt gegeven door de relaties ertussen.
Beschouw de natuurlijke getallen ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. De deelbaarheidsrelatie definieert een partiële orde: m deelt n als en slechts als m | n. Deze partiële orde definieert een meetkunde — het Hasse-diagram van het deelbaarheidsrooster.
Elk priemgetal zit op een minimale positie boven 1. Elk samengesteld getal zit boven zijn priemfactoren. De structuur van deze ruimte codeert alle getaltheorie.
Wat dit Platonisch maakt: de structuur bestaat ongeacht of iemand het bestudeert. Het feit dat 7 priem is — dat 7 geen delers tussen 1 en 7 heeft — is een feit over de positie van 7 in het deelbaarheidsrooster, onafhankelijk van notatie, cultuur of beschaving.
Elke beschaving die tellen en deelbaarheid onderzoekt, zal dezelfde structuur ontdekken. De meetkunde van het getalsysteem is universeel.
Door het deelbaarheidsrooster navigeren
In het deelbaarheidsrooster komt het kleinste gemene veelvoud (lcm) van twee getallen overeen met hun join (laagste bovengrens) en de grootste gemene deler (gcd) met hun meet (grootste ondergrens).
De gcd kan berekend worden via het Euclidische algoritme: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), eindigend wanneer b = 0.
Wat abstractie wegneemt
Meetkundige abstractie: een hoger-dimensionaal object projecteren op een lager-dimensionale deelruimte. De projectie verliest informatie (coördinaten niet in de deelruimte) maar behoudt de deelruimtestructuur perfect.
Wiskundige abstractie werkt op dezelfde manier. Een groep is een verzameling met één binaire bewerking die vier axioma's tevreden stelt. Abstraheren naar groepstructuur verwijdert: de specifieke elementen, de specifieke rekenregel van de bewerking, elke aanvullende structuur (orde, metriek, topologie). Wat overblijft: het vier-axioma skelet.
De opbrengst: elke stelling over groepen geldt voor ALLE groepen — gehele getallen onder optelling, rotaties onder samenstelling, permutaties onder samenstelling, symmetrieën van een molecuul, Galoisgroepen van polynoomvergelijkingen — gelijktijdig. De abstracte stelling is eenmaal bewijsbaar; de instanties zijn gratis.
Dit is waarom zuivere wiskundigen zich tegen het toevoegen van domeinspecifieke aannames verzetten: elke toegevoegde aanname beperkt de toepasbaarheid van de stelling. Een stelling over velden (toevoeging van multiplicatieve inverse) geldt voor minder structuren dan een stelling over ringen (geen multiplicatieve inverse vereist).
Het nauwkeurigheid-generaliteit compromis
Er is een compromis: meer abstracte stellingen gelden breder maar zeggen minder over specifieke instanties. Een stelling over vectorruimten over een veld zegt minder over ℝ^n dan een stelling specifiek over ℝ^n (waar afstand en hoek zijn gedefinieerd).
Hamming's impliciete regel: abstraheer zo ver mogelijk terwijl u de eigenschappen die u nodig hebt behoudt. Te ver abstraheren en uw stellingen worden vacuüm algemeen ('elke verzameling met elke bewerking voldoet...'). Te weinig abstraheren en uw stellingen werken niet over naar nieuwe toepassingen.