回授結構
FIR（有限脈衝響應）濾波器計算每個輸出樣本為當前及過去輸入的加權和。無回授。脈衝響應具有有限持續時間。
IIR（無限脈衝響應）濾波器將先前的輸出回授到計算中：
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
遞迴項 −Σ a_k · y_{n−k} 產生回授。輸入處的單一脈衝將在回授迴路中無限迴盪（若穩定則幾何衰減）。
為什麼使用回授？
IIR 濾波器可以用遠少於 FIR 濾波器的係數實現尖銳的頻率選擇性。2-極點 IIR 可以近似相同阻帶衰減所需的 50 係數 FIR。
代價：潛在的不穩定性。H(z) 的極點決定穩定性。所有極點必須嚴格位於單位圓內。
Hamming 的回授淋浴故事
Hamming 用一個生動的個人故事來說明回授不穩定性。
他在同一家旅館房間重複住宿，因為熟悉環境有助於他在疲倦時定位自己。水管工安裝了大直徑的熱水管。這造成調整旋鈕與感受溫度變化之間的重大延遲。
每天早上，Hamming 遵循相同的模式：水太冷 → 轉開更多熱水 → 仍然冷 → 轉開更多 → 突然滾燙 → 跳出 → 轉小 → 重複。
回授路徑中的延遲意味著他的修正總是超調。即使經過許多重複，他也無法適應延遲。
工程課程：不穩定性來自回授路徑中的過度增益或過度延遲。兩者表現為相同的尋找行為。在濾波器術語中：位於或超出單位圓外的極點產生完全相同的振盪或發散響應。
表徵不穩定性
Hamming 觀察到相同的淋浴不穩定性可以用兩種方式分析：
1. 他的響應過強（修正動作中的過度增益）。
2. 他的檢測延遲過多（在系統穩定之前急於進入浴缸）。
兩種描述產生相同的數學結果：回授迴路的極點移出單位圓。
四種經典族群
類比濾波器理論圍繞四個古典設計族群發展，每個代表不同的取捨。這些族群通過雙線性變換或脈衝不變性轉換為離散時間。
Butterworth（最大平坦）
通帶響應：|H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N})。單調遞減。通帶或阻帶中無漣波。極點位於 s 平面中的半徑 ω_c 圓（或 z 平面中的變換圓）。對於給定階數 N，最平坦的可能通帶。
Chebyshev 第 I 型
通帶中等漣波，阻帶中單調。對於給定的階數 N 和漣波水平，相比 Butterworth 實現更尖銳的截止。極點位於橢圓（在 s 平面中）。
Chebyshev 第 II 型
阻帶中等漣波，通帶中單調。第 I 型在頻域中的鏡像。
楕圓（Cauer）
通帶和阻帶中都有等漣波。對於給定的階數 N 和漣波水平，實現從通帶到阻帶的最尖銳可能轉換。使用楕圓函數最優地放置極點與零點。Hamming：該名稱來自於楕圓函數在推導中使用這一事實。
基本取捨
所有四種族群以不同方式實現相同的基本取捨：更高的階數 N 提供更尖銳的轉換。允許漣波（Chebyshev、楕圓）對相同 N 實現更尖銳的轉換。楕圓對任何給定的 N 和漣波規格實現絕對最尖銳的轉換。
在濾波器族群之間選擇
族群之間的選擇取決於應用的容忍程度。
質疑專家聲明
Hamming 回憶起某些專家聲稱所有 IIR（遞迴）濾波器具有特定特性。他問自己這是否真的是真的—並找到了反例。
他的觀點：專家經常攜帶他們在學校中吸收的聲明，而沒有在當前問題的背景下重新檢查它們。如果您問自己是否真的相信所告訴您的內容，令人驚訝的是您可以發現多少內容是，或接近於是假的，即使在發展充分的領域中也是如此。
反例不是您通常會設計的那種濾波器，但它證明了聲明的膚淺。單一反例足以反駁通用聲明。
IIR 實踐中的設計
Hamming 指出他在解決不同的問題時獨立開發了大部分 IIR 濾波器理論：為數值常微分方程推導穩定修正公式。
修正公式形式：y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
回授出現在 y 項（線性回授）和 f(y) 項（通過微分方程的非線性回授）中。IIR 濾波器的穩定性是數值 ODE 積分器穩定性的更一般問題的特殊情況。
跨領域連接回授
相同的數學結構—回授、極點、穩定性邊界—出現在數位濾波器、數值 ODE 求解器、控制系統、生物節律 & 經濟模型中。
在每個領域：回授迴路從先前的狀態計算新狀態。穩定性要求回授不會無限放大擾動。
Z 平面中的單位圓穩定性邊界對應於：Laplace s 平面中的虛軸（連續時間）、線性迭代的譜半徑條件 ρ(A) < 1 & 非線性系統的 Lyapunov 指數條件 λ < 0。