Структура зворотного зв'язку
Фільтр FIR (скінченна імпульсна характеристика) обчислює кожен вихідний відлік як зважену суму поточних та попередніх входів тільки. Без зворотного зв'язку. Імпульсна характеристика має скінченну тривалість.
Фільтр IIR (нескінченна імпульсна характеристика) подає попередні вихідні сигнали назад до обчислення:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
Рекурсивний член −Σ a_k · y_{n−k} створює зворотний зв'язок. Один імпульс на вході буде відлунювати у контурі зворотного зв'язку нескінченно (геометрично спадаючи, якщо система стабільна).
Чому використовувати зворотний зв'язок?
Фільтр IIR може досягти гострої частотної селективності з набагато меншою кількістю коефіцієнтів, ніж фільтр FIR. IIR з 2 полюсами може апроксимувати те, що вимагає FIR з 50 коефіцієнтами для такого ж послаблення смуги затримування.
Ціна: можлива нестабільність. Полюси H(z) визначають стабільність. Всі полюси повинні розташовуватися строго всередину одиничного кола.
Історія про душ та зворотний зв'язок від Хеммінга
Хеммінг використав живий особистий приклад для ілюстрації нестабільності зворотного зв'язку.
Він повертався до того ж номеру готелю, оскільки знайомість допомагала йому орієнтуватися, коли він був втомлений. Водопровідник установив труби гарячої води великого діаметра в душі. Це створювало суттєву затримку між регулюванням крана та відчуттям зміни температури води.
Щоранку Хеммінг дотримувався однієї схеми: вода занадто холодна → більше гарячої → все ще холодна → ще більше гарячої → раптом окипляється → вистрибує → зменшує → повторює.
Затримка у контурі зворотного зв'язку означала, що його виправлення завжди переходили межу. Він не міг адаптуватися до затримки, навіть після багатьох повторень.
Інженерний урок: нестабільність виникає або від надмірного підсилення в контурі зворотного зв'язку, АБО надмірної затримки в контурі зворотного зв'язку. Обидва проявляються одним і тим же поведінкою пошуку. У термінах фільтрів: полюси на одиничному колі або поза ним створюють саме такий коливальний або розбіжний відгук.
Характеризація нестабільності
Хеммінг спостеріг, що цю ж нестабільність душу можна аналізувати двома способами:
1. Його реакція була надто сильна (надмірне підсилення в дії корекції).
2. Його виявлення було надто затримане (занадто поспішав увійти у ванну до того, як система встановилась).
Обидва описи дають один і той же математичний результат: полюс контуру зворотного зв'язку перейшов за межу одиничного кола.
Чотири класичні сімейства
Теорія аналогових фільтрів розвивалась навколо чотирьох класичних сімейств дизайну, кожне з яких являє собою різний компроміс. Ці сімейства трансформуються в дискретний час за допомогою білінійного перетворення або інваріантності імпульсу.
Butterworth (максимально плоский)
Відгук смуги пропускання: |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N}). Монотонно спадаючий. Без пульсацій у смузі пропускання чи затримування. Полюси розташовуються на колі радіуса ω_c у s-площині (або трансформованому колі у z-площині). Найплоскіший можливий смуга пропускання для даного порядку N.
Chebyshev Тип I
Рівномірна пульсація у смузі пропускання, монотонна у смузі затримування. Для даного порядку N та рівня пульсації досягає гострішого відсікання, ніж Butterworth. Полюси розташовуються на еліпсі (у s-площині).
Chebyshev Тип II
Рівномірна пульсація у смузі затримування, монотонна у смузі пропускання. Дзеркальне зображення Типу I у частотній області.
Еліптичний (Cauer)
Рівномірна пульсація в ОБОХ смузі пропускання та затримування. Для даного порядку N та рівнів пульсацій досягає найгострішого можливого переходу від смуги пропускання до смуги затримування. Використовує еліптичні функції для оптимального розташування полюсів та нулів. Хеммінг: назва походить від того факту, що еліптичні функції використовуються у виведенні.
Фундаментальний компроміс
Всі чотири сімейства досягають однакового базового компромісу по-різному: вищий порядок N дає гострішу перехідну область. Допущення пульсації (Chebyshev, еліптичний) досягає гострішої переходу для того ж N. Еліптичний досягає абсолютно гострішої переходу для будь-якого даного N та специфікацій пульсацій.
Вибір серед сімейств фільтрів
Вибір серед сімейств залежить від того, що застосування може витримати.
Сумніви в твердженні експерта
Хеммінг згадав, що певні експерти стверджували, що всі фільтри IIR (рекурсивні) мають певну властивість. Він запитав себе, чи це дійсно правда — і знайшов контрприклад.
Його точка: експерти часто несуть твердження, які вони засвоїли у школі без будь-якого перегляду їх у контексті поточних проблем. Якщо ви запитаєте себе, чи те, що вам розповідають, дійсно правда, дивно, скільки ви можете знайти неправди або того, що межує з неправдою, навіть у добре розвиненій галузі.
Контрприклад не був типом фільтра, який ви звичайно проектували б, але він довів поверховість твердження. Одного контрприклада достатньо, щоб спростувати універсальне твердження.
Дизайн IIR на практиці
Хеммінг відзначив, що він незалежно розвинув більшість теорії фільтрів IIR, розв'язуючи іншу проблему: виведення стабільних формул корегування для чисельних звичайних диференціальних рівнянь.
The corrector formula form: y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
Зворотний зв'язок з'являється в обох термінах y (лінійний зворотний зв'язок) та термінах f(y) (нелінійний зворотний зв'язок через диференціальне рівняння). Стабільність для фільтрів IIR — це спеціальний випадок більш загальної проблеми стабільності для чисельних інтеграторів ODE.
Об'єднання зворотного зв'язку у різних галузях
Однакова математична структура — зворотний зв'язок, полюси, границя стабільності — з'являється у цифрових фільтрах, чисельних розв'язувачах ODE, системах управління, біологічних ритмах та економічних моделях.
У кожній галузі: контур зворотного зв'язку обчислює новий стан з попередніх станів. Стабільність вимагає, щоб зворотний зв'язок не посилював збурення нескінченно.
Границя стабільності одиничного кола у Z-площині відповідає: уявній осі у Лапласовій s-площині (неперервний час), умові спектрального радіуса ρ(A) < 1 для лінійних ітерацій та умові показника Ляпунова λ < 0 для нелінійних систем.