प्रतिक्रिया संरचना
एक FIR (परिमित आवेग प्रतिक्रिया) फिल्टर प्रत्येक आउटपुट नमूने की गणना वर्तमान और पिछले इनपुट के भारित योग के रूप में करता है। कोई प्रतिक्रिया नहीं। आवेग प्रतिक्रिया में परिमित अवधि है।
एक IIR (अनंत आवेग प्रतिक्रिया) फिल्टर पिछले आउटपुट को संगणना में वापस फीड करता है:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
पुनरावर्ती पद −Σ a_k · y_{n−k} प्रतिक्रिया बनाता है। इनपुट पर एक एकल आवेग प्रतिक्रिया लूप के चारों ओर अनिश्चित काल के लिए अनुरणित होगा (यदि स्थिर है तो ज्यामितीय रूप से क्षय हो रहा है)।
प्रतिक्रिया का उपयोग क्यों करें?
एक IIR फिल्टर केवल इनपुट के साथ एक FIR फिल्टर की तुलना में बहुत कम गुणांकों के साथ तेज आवृत्ति चयनात्मकता प्राप्त कर सकता है। एक 2-ध्रुव IIR एक 50-गुणांक FIR को सन्निकट कर सकता है जिसमें समान स्टॉपबैंड क्षीणन हो।
कीमत: संभावित अस्थिरता। H(z) के ध्रुव स्थिरता निर्धारित करते हैं। सभी ध्रुवों को इकाई वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए।
हैमिंग की प्रतिक्रिया शावर कहानी
हैमिंग ने प्रतिक्रिया अस्थिरता को स्पष्ट करने के लिए एक जीवंत व्यक्तिगत कहानी का उपयोग किया।
वह बार-बार एक ही होटल के कमरे में रहते थे क्योंकि परिचितता उन्हें थकने पर खुद को उन्मुख करने में मदद करती थी। नल निर्माता ने शावर में बड़े व्यास की गर्म-पानी की पाइप स्थापित की थी। इन्होंने नल को समायोजित करने और पानी के तापमान में परिवर्तन महसूस करने के बीच एक महत्वपूर्ण विलंब बनाया।
हर सुबह, हैमिंग एक ही पैटर्न का पालन करते थे: पानी बहुत ठंडा → गर्म करें → अभी भी ठंडा → और भी अधिक गर्म करें → अचानक उबलता है → कूदो → नीचे करो → दोहराओ।
प्रतिक्रिया पथ में विलंब का मतलब था कि उनके सुधार हमेशा ओवरशूट हो जाते थे। वह विलंब के अनुकूल नहीं हो सके, भले ही कई बार दोहराव के बाद।
इंजीनियरिंग पाठ: अस्थिरता प्रतिक्रिया पथ में अत्यधिक लाभ या प्रतिक्रिया पथ में अत्यधिक विलंब से उत्पन्न होती है। दोनों एक ही शिकार व्यवहार को प्रकट करते हैं। फिल्टर शब्दों में: इकाई वृत्त पर या उसके बाहर के ध्रुव इस प्रकार की दोलनशील या विचलित प्रतिक्रिया उत्पन्न करते हैं।
अस्थिरता को चिह्नित करना
हैमिंग ने देखा कि शावर की एक ही अस्थिरता को दो तरीकों से विश्लेषण किया जा सकता है:
1. उनकी प्रतिक्रिया बहुत मजबूत थी (सुधार कार्रवाई में अत्यधिक लाभ)।
2. उनका पता लगाना बहुत देरी से था (सिस्टम के स्थिर होने से पहले बाथटब में प्रवेश करने की जल्दबाजी)।
दोनों विवरण एक ही गणितीय परिणाम देते हैं: प्रतिक्रिया लूप का ध्रुव इकाई वृत्त के बाहर चला गया है।
चार शास्त्रीय परिवार
एनालॉग फिल्टर सिद्धांत चार शास्त्रीय डिजाइन परिवारों के चारों ओर विकसित हुआ, प्रत्येक एक अलग व्यापार-बंद का प्रतिनिधित्व करता है। ये परिवार द्विरेखीय परिवर्तन या आवेग अपरिवर्तनीयता के माध्यम से असतत समय में परिवर्तित होते हैं।
बटरवर्थ (अधिकतम समतल)
पासबैंड प्रतिक्रिया: |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N})। नीरस रूप से घटते हुए। पासबैंड या स्टॉपबैंड में कोई तरंग नहीं। ध्रुव s-प्लेन (या Z-प्लेन में रूपांतरित वृत्त) में त्रिज्या ω_c के वृत्त पर स्थित हैं। दिए गए क्रम N के लिए सबसे समतल संभावित पासबैंड।
चेबीशेव प्रकार I
पासबैंड में समान तरंग, स्टॉपबैंड में नीरस। दिए गए क्रम N और तरंग स्तर के लिए, बटरवर्थ की तुलना में तेज कटऑफ प्राप्त करता है। ध्रुव एक दीर्घवृत्त (s-प्लेन में) पर स्थित हैं।
चेबीशेव प्रकार II
स्टॉपबैंड में समान तरंग, पासबैंड में नीरस। आवृत्ति डोमेन में प्रकार I की दर्पण छवि।
दीर्घवृत्तीय (कॉयर)
पासबैंड और स्टॉपबैंड BOTH में समान तरंग। दिए गए क्रम N और तरंग स्तरों के लिए, पासबैंड से स्टॉपबैंड तक सबसे तेज संभावित संक्रमण प्राप्त करता है। ध्रुवों और शून्यों को इष्टतम रूप से रखने के लिए दीर्घवृत्तीय कार्यों का उपयोग करता है। हैमिंग: नाम इस तथ्य से आता है कि व्युत्पत्ति में दीर्घवृत्तीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।
मौलिक व्यापार-बंद
सभी चार परिवार एक ही मौलिक व्यापार-बंद को अलग तरीके से प्राप्त करते हैं: उच्च क्रम N तेज संक्रमण देता है। तरंग की अनुमति (चेबीशेव, दीर्घवृत्तीय) समान N के लिए तेज संक्रमण प्राप्त करता है। दीर्घवृत्तीय किसी भी दिए गए N और तरंग विशेषताओं के लिए बिल्कुल तेज संक्रमण प्राप्त करता है।
फिल्टर परिवारों के बीच चयन करना
परिवारों के बीच चयन इस बात पर निर्भर करता है कि अनुप्रयोग क्या सहन करता है।
विशेषज्ञ के दावे पर सवाल उठाना
हैमिंग को याद है कि कुछ विशेषज्ञों ने दावा किया था कि सभी IIR (पुनरावर्ती) फिल्टरों में एक विशेष गुण है। उन्होंने अपने आप से पूछा कि क्या यह सच में सच था — और एक प्रतिउदाहरण खोजा।
उनका बिंदु: विशेषज्ञ अक्सर ऐसे दावों को ले जाते हैं जो उन्होंने स्कूल में अवशोषित किए थे बिना वर्तमान समस्याओं के संदर्भ में उन्हें फिर से परीक्षा किए बिना। यदि आप स्वयं से पूछते हैं कि आपको जो बताया जा रहा है वह सच है, तो यह अद्भुत है कि आप कितना पाते हैं कि यह है, या सीमा पर है, एक अच्छी तरह से विकसित क्षेत्र में भी झूठ।
प्रतिउदाहरण उस प्रकार का फिल्टर नहीं था जो आप सामान्य रूप से डिजाइन करेंगे, लेकिन इसने दावे को सतही साबित किया। एक ही प्रतिउदाहरण सार्वभौमिक दावे को असत्य साबित करने के लिए पर्याप्त है।
वास्तविक अभ्यास में IIR डिजाइन
हैमिंग ने नोट किया कि उन्होंने स्वतंत्र रूप से एक अलग समस्या को हल करते समय IIR फिल्टर सिद्धांत का अधिकांश विकास किया था: संख्यात्मक सामान्य अवकल समीकरणों के लिए स्थिर सुधारक सूत्र व्युत्पन्न करना।
सुधारक सूत्र फॉर्म: y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
प्रतिक्रिया y पदों (रैखिक प्रतिक्रिया) और f(y) पदों (अवकल समीकरण के माध्यम से अरैखिक प्रतिक्रिया) दोनों में दिखाई देती है। IIR फिल्टर की स्थिरता संख्यात्मक ODE एकीकारकों के लिए स्थिरता की अधिक सामान्य समस्या का एक विशेष मामला है।
डोमेन में प्रतिक्रिया को जोड़ना
समान गणितीय संरचना — प्रतिक्रिया, ध्रुव, स्थिरता सीमा — डिजिटल फिल्टर, संख्यात्मक ODE सॉल्वर, नियंत्रण प्रणाली, जैविक लय और आर्थिक मॉडल में दिखाई देती है।
प्रत्येक डोमेन में: एक प्रतिक्रिया लूप पिछली अवस्थाओं से एक नई अवस्था की गणना करता है। स्थिरता के लिए आवश्यक है कि प्रतिक्रिया विक्षोभ को अनिश्चित काल के लिए बढ़ाए न।
Z-प्लेन में इकाई वृत्त स्थिरता सीमा निम्नलिखित से मेल खाती है: निरंतर समय में लाप्लास s-प्लेन में काल्पनिक अक्ष, रैखिक पुनरावृत्तियों के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या शर्त ρ(A) < 1, और अरैखिक प्रणालियों के लिए लायपुनोव घातांक शर्त λ < 0।