反馈结构
FIR（有限脉冲响应）滤波器将每个输出样本计算为当前及过去输入的加权和。无反馈。脉冲响应持续时间有限。
IIR（无限脉冲响应）滤波器将过去的输出反馈到计算中：
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
递归项 −Σ a_k · y_{n−k} 创建反馈。输入的单个脉冲将在反馈循环中无限回荡（如果稳定则几何衰减）。
为什么使用反馈？
IIR滤波器可以用远少于FIR滤波器的系数实现尖锐的频率选择性。2极点IIR滤波器可以近似需要50个系数的FIR滤波器在相同阻带衰减下的效果。
代价是：潜在的不稳定性。H(z)的极点决定稳定性。所有极点必须严格位于单位圆内。
Hamming的反馈淋浴故事
Hamming用一个生动的个人故事来说明反馈不稳定性。
他反复住在同一间酒店房间，因为熟悉能帮助他疲劳时定向自己。水管工在淋浴间安装了大直径的热水管。这在调整旋钮和感受到水温变化之间造成了重要的延迟。
每天早上，Hamming遵循同样的模式：水太冷→拧热→仍然冷→拧更多→突然沸腾→跳出来→拧下来→重复。
反馈路径中的延迟意味着他的修正总是超调。即使经过多次重复，他也无法适应延迟。
工程课程：不稳定性源于反馈路径中的过度增益或反馈路径中的过度延迟。两者都表现为相同的猎取行为。在滤波器术语中：单位圆上或外的极点产生完全相同的振荡或发散响应。
表征不稳定性
Hamming观察到相同的淋浴不稳定性可以通过两种方式分析：
1. 他的反应太强（修正动作中的过度增益）。
2. 他的检测延迟太久（系统稳定前太急着进浴缸）。
两种描述都产生相同的数学结果：反馈循环的极点已经移到单位圆外。
四个经典族
模拟滤波器理论围绕四个经典设计族发展，每个代表不同的权衡。这些族通过双线性变换或脉冲不变法转换到离散时间。
Butterworth（最大平坦）
通带响应：|H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N})。单调递减。通带或阻带中无纹波。极点位于s平面中半径为ω_c的圆上（或z平面中的变换圆）。对于给定阶N，最平坦的通带。
Chebyshev类型I
通带中等纹波，阻带中单调。对于给定的阶N和纹波级别，比Butterworth实现更尖锐的截止。极点位于椭圆上（s平面中）。
Chebyshev类型II
阻带中等纹波，通带中单调。在频域中是类型I的镜像。
椭圆（Cauer）
通带和阻带中都有等纹波。对于给定的阶N和纹波级别，实现从通带到阻带的最尖锐过渡。使用椭圆函数最优地放置极点和零点。Hamming：名字来源于在推导中使用椭圆函数这一事实。
基本权衡
所有四个族以不同方式实现相同的基本权衡：更高的阶N给出更尖锐的过渡。允许纹波（Chebyshev、椭圆）对相同的N实现更尖锐的过渡。对于任何给定的N和纹波规范，椭圆实现绝对最尖锐的过渡。
在滤波器族中选择
族之间的选择取决于应用程序能容许什么。
质疑专家声称
Hamming回忆说某些专家声称所有IIR（递归）滤波器都具有特定属性。他问自己这是否真的是真的——并找到了反例。
他的观点是：专家经常承载他们在学校中吸收的声称，但从不在当前问题的背景下重新审视它们。如果你问自己你被告知的东西是否真的是真的，你会惊奇地发现有多少东西是真的或接近真的，甚至在一个发展完善的领域中是假的。
反例不是你通常会设计的那种滤波器，但它证明了这个声称是肤浅的。单个反例足以反驳普遍声称。
IIR设计实践
Hamming指出，在解决不同问题时，他独立开发了大部分IIR滤波器理论：为数值常微分方程推导稳定的修正公式。
修正公式形式：y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
反馈出现在y项（线性反馈）和f(y)项（通过微分方程的非线性反馈）中。IIR滤波器的稳定性是数值ODE积分器稳定性更一般问题的特例。
跨域连接反馈
相同的数学结构——反馈、极点、稳定性边界——出现在数字滤波器、数值ODE求解器、控制系统、生物节律及经济模型中。
在每个域中：反馈循环从前一个状态计算新状态。稳定性要求反馈不会无限放大扰动。
Z平面中的单位圆稳定性边界对应于：Laplace s平面中的虚轴（连续时间）、线性迭代的谱半径条件ρ(A) < 1及非线性系统的Lyapunov指数条件λ < 0。