უკუკავშირის სტრუქტურა
FIR (სასრულო იმპულსური პასუხი) ფილტრი ითვლის თითოეულ გამომავალი ნიმუშს როგორც მიმდინარე და წინა შემოსული სიგნალების შეწონილი ჯამი. უკუკავშირი არ არის. იმპულსური პასუხი სასრულო ხანგრძლივობისაა.
IIR (უსასრულო იმპულსური პასუხი) ფილტრი ასახელებს წინა გამომავალ სიგნალებს უკან გამოთვლაში:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
რეკურსიული ტერმინი −Σ a_k · y_{n−k} ქმნის უკუკავშირს. შემომავალი სიგნალის ერთი იმპულსი ისმის უკუკავშირის მარყუჟის გარშემო უსასრულოდ (გეომეტრიულად იკლებს თუ სტაბილური).
რატომ ვიყენებთ უკუკავშირს?
IIR ფილტრი შეიძლება მოაღწიოს ღრმა სიხშირის შერჩევაზე ბევრად ნაკლები კოეფიციენტებით, ვიდრე FIR ფილტრი. 2-პოლუსიანი IIR შეძლებს დაახლოა რაც მოითხოვს 50-კოეფიციენტიანი FIR იგივე შეკავების დამსუსტებისთვის.
ფასი: შესაძლო არასტაბილურობა. H(z)-ის პოლუსები განსაზღვრავენ სტაბილურობას. ყველა პოლუსი უნდა დაწოლული იყოს ერთეულის წრის შიგნით.
ჰამინგის უკუკავშირის შხაპის ისტორია
ჰამინგი ამ სიტუაციის ვიცხრობთ გამოიყენებდა უკუკავშირის არასტაბილურობის საილუსტრაციოდ.
იგი იმავე სასტუმროში უჯდა ხშირად, რადგან ნაცნობობა ეხმარებოდა მას ორიენტირებაში დაღლილი კიდეგ. ტენიან ფილტრი დანერგილი იყო დიდი დიამეტრის ცხელი წყლის მილები შხაპში. ეს შექმნიდა მნიშვნელოვან დაგვიანებას რუბილის დაკვრიდან წყლის ტემპერატურის შეცვლის ისა.
ყოველ დილით, ჰამინგი დაიცავდა იმავე ნაბიჯებს: წყალი ძალიან ცივი → რუბილი ზევით → ისევ ცივი → კიდევ ზემოთ → მოულოდნელად ცხელი → გადახტა → რუბილი ქვემოთ → გამეორება.
დაგვიანება უკუკავშირის სტრიმში ნიშნავდა, რომ მისი გასწორება ყოველთვის აღემატებოდა. იგი ვერ ახერხებდა დაგვიანებაზე ადაპტაციას, მაშინაც კი მრავალი გამეორების შემდეგ.
ინჟინერიის გაკვეთილი: არასტაბილურობა ჩნდება ან ზედმეტი მოგებიდან უკუკავშირის სტრიმში, ან ზედმეტი დაგვიანებიდან უკუკავშირის სტრიმში. ორივე გამოჩნდება იმავე ძებნის ქცევით. ფილტრის თვალსაზრისით: პოლუსები ერთეულის წრის ზე ან გარეთ ქმნიან ზუსტად ამ ოსცილირებულ ან განვითარებადი პასუხს.
არასტაბილურობის დახასიათება
ჰამინგი დაკვირვობდა, რომ იმავე შხაპის არასტაბილურობა შეიძლებოდა ანალიზდებოდა ორი გზით:
1. მისი პასუხი ძალიან ძლიერი იყო (ზედმეტი მოგება გასწორების მოქმედებაში).
2. მისი დეტექცია ძალიან დაკიდებული იყო (ძალიან ჩქარი ნაჭუჭში შესვლა სანამ სისტემა დაეყენებინა).
ორივე აღწერა იძლევა იმავე მათემატიკურ შედეგს: უკუკავშირის მარყუჟის პოლუსი გადმოვიდა ერთეულის წრის გარეთ.
ოთხი კლასიკური ოჯახი
ანალოგური ფილტრის თეორია განვითარდა ოთხი კლასიკური დიზაინის ოჯახის გარშემო, თითოეული წარმოადგენს სხვადსხვა დაკომპრომისს. ეს ოჯახები დისკრეტულ დროში გარდაიქმნებიან ბილინიური გარდაქმნის ან იმპულსური უცვლელობის მეშვეობით.
ბატერვორთი (მაქსიმალური ბრტყელი)
გატარების პასუხი: |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N}). ერთ-ერთი მოკლებული. გატარება არ აქვს რიპელი ან შეკავებაში. პოლუსები დევს წრეზე რადიუსით ω_c s-სიბრტყეში (ან გარდაქმნილი წრე z-სიბრტყეში). ბრტყელი გატარება შესაძლოა რიგი N-სთვის.
ჩებიშევი ტიპი I
თანაბარი რიპელი გატარებაში, მონოტონური შეკავებაში. მოცემული რიგი N და რიპელის დონე, მოაღწია მკვეთრი შემცირება ვიდრე ბატერვორთი. პოლუსები დევს ელიფსის s-სიბრტყეში.
ჩებიშევი ტიპი II
თანაბარი რიპელი შეკავებაში, მონოტონური გატარებაში. სარკო გამოსახულება ტიპი I-სთან სიხშირის დომენში.
ელიფტიკური (კაუერი)
თანაბარი რიპელი გატარებასა და შეკავებაში. მოცემული რიგი N და რიპელის დონე, მოაღწია მკვეთრი შესაძლო გარდამავალი გატარებიდან შეკავებაში. იყენებს ელიფტიკური ფუნქციები პოლუსების & ნულების ოპტიმალური განთავსებისთვის. ჰამინგი: სახელი მოდის იქიდან, რომ ელიფტიკური ფუნქციები გამოიყენება ამ წარმოსაბჭიდან.
ფუნდამენტური დაკომპრომისი
ყველა ოთხი ოჯახი 達成 იმავე ძირითად დაკომპრომისს სხვადსხვაგვარად: მაღალი რიგი N იძლევა მკვეთრ გარდამავალი. დაშვება რიპელი (ჩებიშევი, ელიფტიკური) მოაღწია მკვეთრი გარდამავალი იმავე N-სთვის. ელიფტიკური მოაღწია აბსოლუტურ მკვეთრ გარდამავალი ნებისმიერი მოცემული N და რიპელის სპეციფიკაციებისთვის.
არჩევა ფილტრის ოჯახებს შორის
არჩევა ოჯახებს შორის დამოკიდებულია იმაზე, რას ტოვებს აპლიკაცია.
ექსპერტის კიდობის დაკითხვა
ჰამინგი აღრიცხავდა, რომ გარკვევილმა ექსპერტებმა აცხადეს, რომ ყველა IIR (რეკურსიული) ფილტრი ფლობდა კონკრეტული თვისება. იგი თავს კითხვას დაუსვა, უნდა მენე ეს იყოს სტნამდვილოდ — და იპოვა მოპირდაპირე მაგალითი.
მისი ქულა: ექსპერტები ხშირად ატარებენ კიდობებს, რომლებიც ისინი აითვისეს სკოლაში მათი ხელახალი შემოწმების გარეშე მიმდინარე პრობლემის კონტექსტში. თუ თავს დაუსვებთ, უნდა მენე ის, რაც უთხრეს სნამდვილო, ჩვენ შეძლებთ ვიპოვოთ რამდენი ის არის, ან ზღვრამდე მდგომი, ყოს, თუნდაც კარგად განვითარებულ სფეროში.
მოპირდაპირე მაგალითი არ იყო ფილტრი, რომელსაც ნორმალურად დიზაინი გაუკეთებდა, მაგრამ ის დაამტკიცა კიდობა ზედმეტი. სიმების მოპირდაპირე მაგალითი საკმარის დაამტკიცავს უნივერსალური კიდობა.
IIR დიზაინი პრაქტიკაში
ჰამინგი აღრიცხავდა, რომ იგი დამოუკიდებლად შეიმუშავა IIR ფილტრის თეორია კიდევ სხვა პრობლემის გამოსავლელის დროს: მდგრადი კორექტორი ფორმულების წარმოშობა რიცხვული ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებებისთვის.
კორექტორი ფორმულა ფორმა: y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
უკუკავშირი გამოჩნდება y პირობებში (წრფივი უკუკავშირი) და f(y) პირობებში (არაწრფივი უკუკავშირი დიფერენციალური განტოლების მეშვეობით). IIR ფილტრის მდგრადობა იყო სპეციალური შემთხვევა უფრო ზოგადი პრობლემისთვის რიცხვული ODE ინტეგრატორების მდგრადობისთვის.
უკუკავშირის დაკავშირება დომენებში
იმავე მათემატიკური სტრუქტურა — უკუკავშირი, პოლუსები, მდგრადობის საზღვრა — გამოჩნდება ციფრული ფილტრებში, რიცხვული ODE გამხსნელებში, კონტროლის სისტემებში, ბიოლოგიური რიტმებში, & ეკონომიკური მოდელებში.
თითოეულ დომენში: უკუკავშირის მარყუჟი ითვლის ახალ მდგომარეობას წინა მდგომარეობიდან. მდგრადობა მოითხოვს, რომ უკუკავშირი გაძლიერებაში არ იყოს შეშფოთებული უსასრულოდ.
ერთეულის წრის მდგრადობის საზღვრა Z-სიბრტყეში შეესაბამება: წარმოსახვითი ღერძი Laplace s-სიბრტყეში (უწყვეტი დრო), სპექტრალური რადიუსის კონდიცია ρ(A) < 1 წრფივი იტერაციებისთვის, & Lyapunov მაჩვენებელი კონდიცია λ < 0 არაწრფივი სისტემებისთვის.