Struktura zwrotki
Filtr FIR (odpowiedź na impuls kończona) oblicza każdą próbkę wyjściową jako sumę wagująca bieżących i przeszłych wejść. Brak zwrotki. Odpowiedź na impuls ma ograniczony czas trwania.
Filtr IIR (odpowiedź na impuls nieskończona) karmi poprzednie wyjścia z powrotem do obliczeń:
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
Zwrotny termin −Σ a_k · y_{n−k} tworzy zwrotkę. Jedna imploso na wejściu będzie echać się w pętli zwrotki na zawsze (stopniowo się pomniejszając, jeśli stabilna).
Dlaczego używać zwrotki?
Filtr IIR może osiągnąć ostrą selektywność częstotliwościowy z znacznie mniejszą liczbą współczynników niż filtr FIR. 2-polowy IIR może aproksymować to, co wymaga 50-krotnego filtru FIR, aby osiągnąć tę samą przepustowość zatrzymywania.
Cena: potencjalna niestabilność. Stabilność zależy od pola H(z). Wszystkie pola muszą znajdować się wyraźnie wewnątrz koła jednostki.
Historia Hamminga z kabiną wodną zwrotki
Hamming użył wyrazistego własnej historii, aby ilustrować niestabilność zwrotki.
Mieszkał w tym samym pokoju hotelowym wielokrotnie, ponieważ znajomość pomagała mu się zorientować, gdy był zmęczony. Plombier zainstalował dużych średnicy rury ciepłej wody w kabince. To tworzy znaczącą opóźnienie między dostosowaniem zaworów a odczuwaniem zmiany temperatury wody.
Rano Hamming śledził ten sam wzorzec: woda zbyt zimna → podniesienie ciepła → wciąż zimne → podniesienie więcej → nagle gorące → skacz z powrotem → obniżyć → powtórz.
Opóźnienie w ścieżce zwrotki oznacza, że jego poprawy zawsze przekraczały cel. Nie mógł dostosować się do opóźnienia, nawet po wielu powtórkach.
Nauka inżynierska: niestabilność pochodzi z nadmiernego wzrostu zysku w ścieżce zwrotki lub nadmiernego opóźnienia w ścieżce zwrotki. Obie manifestują się taką samą zachowaniem polowań. W terminach filtrów: pola na lub poza kołem jednostki wywołują dokładnie tę oscylacyjną lub rozprzestrzeniającą się odpowiedź.
Charakterystyka niestabilności
Hamming zauważył, że tą samą niestabilność ujścia można analizować w dwóch sposób:
1. Jego reakcja była zbyt silna (nadmierna zdolność do korekty).
2. Jego wykrywanie było zbyt opóźnione (za wcześnie, aby wejść do kąpieli przed osiągnięciem stanu spoczynku systemu).
Obie opisane sytuacje prowadzą do tego samego wyniku matematycznego: biegun obwodu zwrotki przenosi się poza jednostkę okręgu.
Cztery Klasyczne Rodziny
Teoria filtrów analogowych rozwinęła się wokół czterech klasycznych rodzin projektowych, każda reprezentującą inny kompromis. Te rodziny są przekształcane w czasie dyskretnym za pomocą przekształcenia bilinearnego lub invarjancji impulsu.
Butterworth (Maksymalnie Równoległe)
Odpowiadc opóźnienia: |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N}). Monotoniczne. Brak echa w pasma przepustowego lub odbiornika. Bieguny znajdują się na okręgu o promieniu ω_c w przestrzeni s (lub przekształconym okręgu w przestrzeni z). Najbardziej płaskie pasmo przepustowe dla danego rzędu N.
Typ Chebyszewa I
Równomierne wypaczenia w pasmo, monotonie w zaporze. Dla danego rzędu N i poziomu wypaczeń osiąga ostrzejsze przecięcie niż Butterworth. Pola leżą na elipsie (w planie s).
Typ Chebyszewa II
Równomierne wypaczenia w zaporze, monotonie w pasmo. Odbicie obrazu Typu I w obszarze częstotliwości.
Elipsoidalny (Cauer)
Równomierne wypaczenia W OBIEKTACH pasmo i zaporze. Dla danego rzędu N i poziomów wypaczeń osiąga najbardziej ostrą możliwą przesunięcie z pasma do zaporze. Wykorzystuje eliptyczne funkcje do umieszczania poli i zera optymalnie. Hamming: nazwa pochodzi z faktu, że eliptyczne funkcje są używane w wywodzeniu.
Podstawowy handel
Wszystkie cztery rodziny osiągają tę samą podstawową wymianę inaczej: wyższy rzód N daje ostrzejsze przecięcie. Pozwalanie na wypaczenia (Chebyshev, eliptyczne) osiąga ostrzejsze przecięcie dla tego samego N. Elipsoidalny osiąga absolutnie najostrszą przesunięcie dla dowolnego danego N i specyfikacji poziomu wypaczeń.
Wybór między rodzinami filtrów
Wybór między rodzinami zależy od tego, co aplikacja akceptuje.
Szybka Pytanie o Prawdopodobieństwo Wskazania Eksperta
Hamming przypomniał sobie, że pewni eksperci twierdzili, że wszystkie FIR (rekursywne) filtry posiadają określone właściwości. Zapytał się, czy to naprawdę jest prawda - i znalazł przeciwprzykład.
Jego punkt: eksperci często przechowują twierdzenia, które wzięli na warszawę bez kiedy sprawdzili je na nowo w kontekście obecnego problemu. Jeśli zapytasz siebie, czy to, co mówią ci, jest naprawdę prawda, jest niesamowite, ile można znaleźć tego, co jest fałszowane, czy graniczące na fałszowanie, nawet w dobrze rozwiniętej dziedzinie.
Przeciwprzykład nie był typem filtru, który zwykle projektowano, ale udowodnił, że twierdzenie jest powierzchowne. Jeden przeciwprzykład wystarcza do obalenia ogólnego twierdzenia.
Projektowanie FIR w Praktyce
Hamming zauważył, że niezależnie opracował dużą część teorii filtrów IIR, rozwiązując inne zadanie: wyznaczanie stabilnych poprawnych wzorów dla numerycznych równan różniczkowych zwykłych.
Forma wzoru poprawki: y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
Pobudowa pojawia się zarówno w y (pobudowa liniowa), jak i w f(y) (pobudowa nieliniowa przez równanie różniczkowe). Stabilność dla filtrów IIR to szczególny przypadek bardziej ogólnego problemu stabilności dla integratorów numerycznych ODE.
Połączenie Pobudowy Między Obszarami
Ta sama struktura matematyczna - zwrotka, bąbelki, granica stabilności - pojawia się w filtrach cyfrowych, integratorach numerycznych ODE, systemach sterowania, biologicznych rytmach, i modelach gospodarczych.
W każdej dziedzinie: pętla zwrotki oblicza nowy stan na podstawie poprzednich stanów. Stabilność wymaga, aby zwrotka nie wzmacniała nieskończenie perturbacji.
Graniczna stabilność w płaszczyźnie Z odpowiada: osi wyobraźni w płaszczyźnie Laplace'a (czas ciągły), warunkowi promienia spektralnego ρ(A) < 1 dla liniowych iteracji, & warunkowi wykładniczym λ < 0 dla nieliniowych systemów.