La structure de rétroaction
Un filtre RIF (réponse impulsionnelle finie) calcule chaque échantillon de sortie comme une somme pondérée des entrées actuelles et passées uniquement. Pas de rétroaction. La réponse impulsionnelle a une durée finie.
Un filtre RII (réponse impulsionnelle infinie) réinjecte les sorties précédentes dans le calcul :
y_n = Σ b_k · x_{n−k} − Σ a_k · y_{n−k}
Le terme récursif −Σ a_k · y_{n−k} crée la rétroaction. Une impulsion unique à l'entrée s'échappera autour de la boucle de rétroaction indéfiniment (décroissant géométriquement si stable).
Pourquoi utiliser la rétroaction ?
Un filtre RII peut atteindre une sélectivité en fréquence nette avec beaucoup moins de coefficients qu'un filtre RIF. Un RII à 2 pôles peut approximer ce qui nécessite un RIF à 50 coefficients pour la même atténuation en bande passante.
Le prix : instabilité potentielle. Les pôles de H(z) déterminent la stabilité. Tous les pôles doivent se trouver strictement à l'intérieur du cercle unité.
L'histoire de la douche de rétroaction de Hamming
Hamming a utilisé une histoire personnelle vivante pour illustrer l'instabilité de la rétroaction.
Il restait dans la même chambre d'hôtel à plusieurs reprises car la familiarité l'aidait à s'orienter quand il était fatigué. Le plombier avait installé des tuyaux d'eau chaude de grand diamètre dans la douche. Ceux-ci créaient un délai significatif entre l'ajustement du robinet et le changement perçu de la température de l'eau.
Chaque matin, Hamming suivait le même schéma : l'eau trop froide → augmenter le chaud → toujours froide → augmenter plus → soudainement bouillante → sauter → baisser → répéter.
Le délai dans la voie de rétroaction signifiait que ses corrections dépassaient toujours l'objectif. Il ne pouvait pas s'adapter au délai, même après de nombreuses répétitions.
La leçon d'ingénierie : l'instabilité surgit soit d'un gain excessif dans la voie de rétroaction, soit d'un délai excessif dans la voie de rétroaction. Les deux se manifestent par le même comportement de chasse. En termes de filtre : les pôles en ou hors du cercle unité produisent exactement cette réponse oscillatoire ou divergente.
Caractériser l'instabilité
Hamming a observé que la même instabilité de douche pouvait être analysée de deux façons :
1. Sa réponse était trop forte (gain excessif dans l'action de correction).
2. Sa détection était trop retardée (trop hâtif à entrer dans la baignoire avant que le système se stabilise).
Les deux descriptions produisent le même résultat mathématique : le pôle de la boucle de rétroaction s'est déplacé en dehors du cercle unité.
Les quatre familles classiques
La théorie des filtres analogiques s'est développée autour de quatre familles de conception classiques, chacune représentant un compromis différent. Ces familles se transforment en temps discret via la transformation bilinéaire ou l'invariance impulsionnelle.
Butterworth (Maximalement plat)
Réponse en bande passante : |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)^{2N}). Monotoniquement décroissante. Pas d'ondulation en bande passante ou en bande d'arrêt. Les pôles se trouvent sur un cercle de rayon ω_c dans le plan s (ou cercle transformé dans le plan z). La bande passante la plus plate possible pour un ordre N donné.
Chebyshev Type I
Ondulation égale en bande passante, monotone en bande d'arrêt. Pour un ordre N et un niveau d'ondulation donnés, atteint une coupure plus nette que Butterworth. Les pôles se trouvent sur une ellipse (dans le plan s).
Chebyshev Type II
Ondulation égale en bande d'arrêt, monotone en bande passante. Image miroir du Type I dans le domaine des fréquences.
Elliptique (Cauer)
Ondulation égale dans la bande passante ET la bande d'arrêt. Pour un ordre N et des niveaux d'ondulation donnés, atteint la transition la plus nette possible de la bande passante à la bande d'arrêt. Utilise les fonctions elliptiques pour placer les pôles & zéros de manière optimale. Hamming : le nom vient du fait que les fonctions elliptiques sont utilisées dans la dérivation.
Le compromis fondamental
Les quatre familles réalisent le même compromis de base différemment : un ordre N plus élevé donne une transition plus nette. Permettre l'ondulation (Chebyshev, elliptique) atteint une transition plus nette pour le même N. Elliptique atteint la transition absolue la plus nette pour un N donné et des spécifications d'ondulation.
Choisir parmi les familles de filtres
Le choix entre les familles dépend de ce que l'application tolère.
Questionner la revendication de l'expert
Hamming a rappelé que certains experts avaient affirmé que tous les filtres RII (récursifs) possédaient une propriété particulière. Il s'est demandé si c'était vraiment vrai — et a trouvé un contre-exemple.
Son point : les experts transportent souvent des revendications qu'ils ont absorbées à l'école sans jamais les réexaminer dans le contexte des problèmes actuels. Si vous vous demandez si ce qu'on vous dit est vraiment vrai, c'est incroyable le nombre de choses que vous pouvez découvrir qui sont, ou bordent, fausses, même dans un domaine bien développé.
Le contre-exemple n'était pas le type de filtre que vous concevriez normalement, mais il a prouvé la revendication superficielle. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une revendication universelle.
Conception RII en pratique
Hamming a noté qu'il avait indépendamment développé une grande partie de la théorie des filtres RII en résolvant un problème différent : dériver des formules de correcteur stables pour les équations différentielles ordinaires numériques.
La forme de la formule du correcteur : y_n = Σ a_k · y_{n−k} + Σ b_k · f(y_{n−k})
La rétroaction apparaît à la fois dans les termes y (rétroaction linéaire) et dans les termes f(y) (rétroaction non linéaire par l'équation différentielle). La stabilité pour les filtres RII est un cas spécial du problème plus général de stabilité pour les intégrateurs ODE numériques.
Connecter la rétroaction entre domaines
La même structure mathématique — rétroaction, pôles, limite de stabilité — apparaît dans les filtres numériques, les solveurs ODE numériques, les systèmes de contrôle, les rythmes biologiques, & les modèles économiques.
Dans chaque domaine : une boucle de rétroaction calcule un nouvel état à partir d'états précédents. La stabilité exige que la rétroaction n'amplifie pas les perturbations indéfiniment.
La limite de stabilité du cercle unité dans le plan Z correspond à : l'axe imaginaire dans le plan s de Laplace (temps continu), la condition du rayon spectral ρ(A) < 1 pour les itérations linéaires, & la condition de l'exposant de Lyapunov λ < 0 pour les systèmes non linéaires.