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欢迎

进入太空并非是上升的问题。它是关于以足够快的速度向侧方移动：这样你就不会落回地球，而是围绕地球自由落下。

在1687年，艾萨克·牛顿描述了一次思想实验：想象一门炮，置于一个非常高的山顶上。向水平方向发射炮弹。它沿弧线坠落，撞到地面上。发射速度更快：它在坠落前行驶更远。发射足够快时，炮弹的落下曲线与地球的曲线相匹配。它永远不会落地。它进入轨道。

这个洞见：轨道是受控的坠落：是接下来所有内容的基础。所有的卫星、所有的空间站、所有的行星探测器都只是一个非常复杂的炮弹。

本课将介绍使火箭进入轨道并在世界之间移动的物理学。这是NASA、SpaceX和地球上每个空间局使用的数学。

预热

开始之前

国际空间站位于地球400公里上方，这比纽约与波士顿之间的距离还短。空间站内的宇航员并不离地球很远：然而，他们却会浮动。

国际空间站位于地球400公里上方，地球表面上的重力只有90%。那么，为什么宇航员会浮动？实际上发生了什么物理现象？

管辖所有轨道的三个法则

开普勒法则

牛顿之前，约翰内斯·开普勒描述了物体轨道的如何。凭借泰克罗·布拉赫收集的几十年观测数据，开普勒发现了三个定律，描述了整个太阳系的每一个轨道。


第一定律（椭圆定律）： 每个轨道都是一个焦点处的椭圆。圆形只是椭圆的一个特殊情况。实际上，大多数轨道都是略微椭圆形状：物体有时离中心体更近（偏心半径），有时离它更远（远点）。


第二定律（等面积定律）： 从轨道体到中心体的线段在等时间内扫过等面积。这个意思是，当它离它轨道的体更近时（靠近偏心半径）它移动得更快，当它离它更远时（靠近远点）它移动得更慢。这就是角动量守恒在行动。


第三定律（谐波定律）： 轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比：T-squared与a-cubed成正比。地球上的卫星离地球更远时，需要更长的时间完成一个轨道：不仅是因为路径更长，还因为它移动得更慢。

开普勒的三个定律：椭圆、等面积和谐波定律的轨道比较

应用开普勒

开普勒的第三定律在实际应用中

国际空间站（ISS）在约420公里的高度上绕地球旋转，一个周期大约为93分钟。地球同步卫星在约35786公里高度上绕地球旋转，一个周期为确实24小时：它们在同一赤道点上保持固定，因为它们的轨道速度与地球自转的速度相同。

开普勒的第三定律将这些联系起来：高度更高的轨道意味着周期更长。具体关系是T-squared = (4 pi-squared / GM) * a-cubed，其中a是从地球中心测量的半长轴（不是海平面高度）。

一个在地球低轨道（海平面高度400公里）绕地球旋转的卫星完成一个轨道大约需要90分钟。一个地球同步轨道卫星（高度35786公里）需要24小时。使用开普勒的第二和第三定律，解释两点：（1）哪个卫星速度更快，为什么，（2）为什么彗星在靠近太阳时速度会大幅加快。

轨道速度是多少？

圆形轨道速度

为了维持在给定高度的圆形轨道，需要的速度为:v = sqrt(G*M / r)，其中G是引力常数，M是中心体的质量，r是从中心体测量的轨道半径。

对于地球低轨道，这相当于大约7.8 km/s：大约28000 km/h或Mach 23。这就是牛顿的炮弹需要达到的是的速度。


逃逸速度

要完全离开一个物体的引力影响，你需要逃逸速度：v_escape = sqrt(2 G M / r)。注意，这与圆形轨道速度的平方根完全相同：约41%更快。

从地球表面逃逸速度约为11.2 km/s。


Delta-v：太空飞行的货币

Delta-v（速度变化）是规划人员衡量每个 манœuvre 成本的方式。从发射台到LEO需要大约9.4 km/s的Delta-v：比轨道速度7.8 km/s更大，因为在升空期间你还需要克服引力和气动阻力。

每个载荷的每克都需要指数级更多的燃料，遵循Tsiolkovsky火箭方程：delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)。这解释了为什么火箭几乎都是燃料。

轨道速度、逃逸速度、Delta-v预算分配和火箭方程

火箭方程的暴政

火箭方程

Tsiolkovsky火箭方程说：delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)。自然对数意味着燃料质量与delta-v之间的关系是指数的。

对于一个排放速度约为3.5 km/s的化石火箭，到达LEO（9.4 km/s delta-v）需要一个质量比约为e^(9.4/3.5) = e^2.69 = 大约14.7。这意味着你在轨道上放入的每一公斤物质，你在发射台上需要大约13.7公斤燃料和结构。

这就是为什么猎鹰5号在发射时重达2800吨但仅将130吨送入LEO：比例约为21:1。

SpaceX Starship旨在使用全可重复使用的飞船将约150吨物质送入LEO。使用火箭方程和Delta-v预算概念，解释为什么可重复使用改变了太空飞行经济，即使它没有改变物理学。为什么可重复使用性如此具有革命性，即使你仍然需要同样数量的燃料？

改变轨道

霍曼转移

霍曼转移是将两个圆形轨道之间移动的最节能方式。它使用两个引擎烧烧：

1. 第一次烧烧（在近地点）： 在近地点处向进动（与飞行方向相同）发射，以提高轨道的相反侧。你现在在一个椭圆形转移轨道上，这个轨道的低点接触了内轨道，高点接触了外轨道。

2. 第二次烧烧（在远地点）： 当你达到高点时，再次向进动发射，以将轨道圆化为外轨道。

从LEO到地球同步轨道需要总共约3.9 km/s的delta-v。


引力助推

引力助推（或引力拖曳）使用行星的引力和轨道运动来改变空间飞行器的速度而无需燃料。飞行器向行星坠落，获得速度，然后拐弯离去。相对于行星，它离开的速度与到达时相同：但相对于太阳，它已经获得（或丢失）了速度，取决于几何关系。

旅行者2号在朱皮特、土星和天王星行星上进行引力助推，以达到海王星：这在化石推进力单独进行时是不可能的。


会合与对接

为了捕获同轨道上的另一个飞船，你不能简单地加速：这会使你的轨道升高，你实际上会远离它。相反，你降低到一个较低（更快）的轨道上，占领优势，然后再回到目标轨道上。这被称为相位轨道。

Hohmann转移、引力助推滑翔和轨道会面悖论

轨道力学悖论

一个反直觉的问题

你在一个圆形轨道上，你想要捕获同轨道前方的另一个飞船。你的本能会告诉你向前发射火箭加速，缩小距离。

解释一下，为何向前（前进）发射火箭（进动）实际上会使你远离同轨道前方的目标。应该怎么做才能追上目标，这是为什么？这是在轨道力学中最反直觉的结果之一。

轨道和轨迹在实际操作中

展示LEO、MEO和GEO轨道、速度和Hohmann转移椭圆的轨道力学图表

低地球轨道（LEO）

高度在160-2000公里之间。周期为90-127分钟。这是国际空间站生活的地方（420公里），地球观察卫星的大部分操作都在这里，以及SpaceX星链卫星（约550公里）。到达LEO需要大约9.4 km/s的delta-v。


地球同步轨道（GEO）

高度为35786公里，24小时周期，赤道。卫星在这里似乎静止在天空：perfect for communications and weather monitoring. 从LEO到GEO需要额外的约3.9 km/s。


月球轨迹

月球大约384400公里远。从LEO到月球的转月球注入燃烧需要大约3.1 km/s。阿波罗任务需要大约3天的时间到达月球。阿尔特米斯计划使用月球附近的近椭圆 halo轨道（NRHO）作为起飞点，为Gateway提供一个起飞点。


火星转运窗口

火星转运使用类霍曼轨道，地球和火星在正确对齐时每26个月开放一次。转运时间约为7-9个月。从地球轨道到火星轨道的总delta-v约为5.7 km/s。SpaceX Starship 设计用于火星任务，使用轨道加油将足够的推进剂装载到转运中。

设计一项任务

任务设计就是delta-v预算

每个任务都是一个连续的操控，每个操控都有delta-v成本。任务规划者将它们相加，并从火箭方程的相反方向推算出所需的推进剂质量。

例如，火星着陆任务预算可能如下：地球轨道插入(9.4 km/s) + 火星转运注入(3.6 km/s) + 火星轨道插入(1.0 km/s) + 降落和着陆(1.0 km/s) = 约15 km/s总计。每个delta-v阶段都会使燃料需求指数增长。

NASA 计划一项载人火星任务。利用您对delta-v预算、转运窗口、霍曼转运以及火箭方程的了解，解释为什么火星任务比月球任务更难。至少要讨论这两个因素：delta-v需求、转运时间、发射窗口约束以及推进剂质量。

这个知识将带你到哪里

飞行动力学与任务设计

规划和执行轨道操控的人们被称为NASA的飞行动力学官(FDO,发音为'fido')，或者SpaceX的GN&C(导向、导航和控制)工程师。他们计算轨道、规划燃烧和在实时监控太空船轨道。


天体力学

天体力学专家是开发轨道运动数学模型的人。他们在美国宇航局的喷气推进实验室（JPL）、戈达德太空飞行中心以及像SpaceX、蓝色起源和火箭实验室这样的公司工作。他们的工具是今天讲解过的方程：开普勒定律、活力方程、火箭方程以及数值轨道传播器。


The Path

大多数飞行动力学和天体力学职位要求获得航空工程、物理学或应用数学的学位。关键课程：经典力学、微分方程、数值方法和天体力学。JPL和NASA的实习机会非常竞争性，但是一直以来都是最直接的渠道。SpaceX从顶尖航空航天计划中招聘激进，非常重视实际项目：CubeSats、火箭俱乐部和轨道优化竞赛。


What Sets Candidates Apart

编程能力（Python、MATLAB、C++）与数学能力同等重要。熟悉GMAT（General Mission Analysis Tool）或STK（Systems Tool Kit）等工具非常有价值。个人项目：轨道仿真、轨道传播器、CubeSat任务：展示仅通过课程学不到的实际知识。

轨道力学职业路径：FDO、天体力学家、技能和管道

Synthesis

Putting It All Together

你现在了解了轨道力学的核心物理概念：为什么轨道是下落的、开普勒定律如何描述轨道运动、delta-v意味着什么、霍曼转移如何工作以及火箭方程如何支配一切。

假设你是SpaceX的飞行动力学官（FDO），正在计划一场星船（Starship）任务，目的是在低地球轨道（LEO）部署一组卫星，这些卫星分布在三个不同的轨道面。你使用从这堂课中学到的轨道力学概念，描述你将要计划的关键挑战和操作顺序。考虑到delta-v预算、轨道面变化、部署顺序以及你需要做出的权衡。