un

guest
1 / ?
back to lessons

Ласкаво просимо

Поїздка у космос не про те піднятися. Це про те перейти в стороною: досить швидко, щоб ви падали навколо Землі, а не назад на неї.

У 1687 році Ісаак Ньютон описав експеримент з думки: уявіть гармату на вершині дуже високої гори. Відпустіть гарматний снаряд горизонтально. Він падає в аркуш і вдаряється по землі. Відпустіть його швидше: він долає більшу відстань, перш ніж вдаритися по землі. Відпустіть його настільки швидко, що кривина його падіння збігається з кривиною Землі. Він ніколи не впаде. Він орбітує.

Цей принцип: орбіта керується падінням - є основою для всього, що йде далі. кожен супутник, кожен космічний станці, кожен міжпланетний зонд - це просто дуже складний гарматний снаряд.

Ця лекція охоплює фізику, яка надає ракетам орбіту та переміщує космічні апарати між світами. Це математика, яку використовують NASA, SpaceX та кожна космічна агенція на Землі кожен день.

Підготовка

Перед початком

Міжнародна космічна станція орбітує на висоті близько 400 км над Землею. Це менше від відстані між Нью-Йорком та Бостоном. Астронавти всередині не знаходяться далеко від Землі: вони не далеко від Землі взагалі: але плавлять.

ISS знаходиться на висоті лише 400 км та гравітація там становить приблизно 90% від сили на поверхні. Отже, чому астронавти плавуть? Що відбувається фізично?

Три закони, які керують всіма орбітами

Закони Кеплера

Перед Ньютоном пояснив, ПОЧИМУ об'єкти орбітують, Йоганн Кеплер описав, ЯКІМ ЧИННИМ вони орбітують. Роблячи з десятиліттями даних спостережень, зібраних Тихо Браге, Кеплер відкрив три закони, які описують кожну орбіту в сонячній системі.


Перший Закон (Закон еліпсів): Кожна орбіти є еліпсою з центральним тілом у одному з фокусів. Круг є особливим випадком еліпса. Реальні орбіти здебільшого трохи еліптичні: об'єкт іноді ближче до центрального тіла (перигелій) та іноді далі (апогелій).


Другий Закон (Рівні площі): Лінія, яка з'єднує обертальне тіло з центральним тілом, охоплює рівні площі в рівних часових проміжках. Це означає, що об'єкт рухається швидше, коли він ближче до тіла, навколо якого він обертається (близько перигелію) та повільніше, коли він далі (близько апогелію). Це збереження моменту імпульсу в дії.


Третій Закон (Гармонічний Закон): квадрат періоду орбіти пропорційний кубу його напіввеликої осі: T-квадрат пропорційний a-куб. Супутник, який знаходиться далі від Землі, триваліше займає для виконання однієї орбіти: не лише тому, що шлях довший, але й тому, що він також рухається повільніше.

Три закони Кеплера: еліпси, рівні площі та гармонічний закон з порівнянням орбіт

Застосування законів Кеплера

Застосування третього закону Кеплера

ISS обертається на висоті приблизно 420 км з періодом приблизно 93 хвилин. Геостаціонарні супутники обертаються на висоті приблизно 35 786 км з періодом exactly 24 годин: вони залишаються непорушеними над одним з пунктів екватора, оскільки обертаються зі швидкістю, яка дорівнює швидкості обертання Землі.

Третій закон Кеплера зв'язує ці факти: вища орбіти означає довший період. Практично це виглядає так: T-квадрат = (4 pi^2 / G M) * a^3, де a - напіввелика оса, виміряна від центру Землі (а не поверхню).

Супутник у низькій орбіті Землі на висоті 400 км завершує орбіту за приблизно 90 хвилин. Геостаціонарний супутник на висоті 35 786 км тривалий час займає 24 години. За допомогою другого та третього законів Кеплера поясніть дві речі: (1) який супутник рухається швидше та чому, та (2) чому комети прискорюються драматично, коли вони наближаються до Сонця.

Скільки швидкості потрібно для орбіти?

Кругова швидкість орбіти

Для кругової орбіти швидкість, необхідна для утримання орбіти на задній висоті, становить: v = sqrt(G*M / r), де G - гравітаційна стала, M - маса центральної тіла, та r - орбітальний радіус, вимірений від центра тіла.

Для низької земної орбіти це працює на прохід 7.8 км/с: приблизно 28,000 км/г або Мах 23. Це швидкість, якою потрібно рухатися камінню Нютон.


Швидкість вилову

Аби повністю залишити гравітаційне вплив тіла, потрібно швидкість вилову: v_escape = sqrt(2 G M / r). Зверніть увагу, це точно sqrt(2) разів швидше кругової орбітальної швидкості: приблизно на 41% швидше.

З поверхні Землі швидкість вилову становить приблизно 11.2 км/с.


Delta-v: Валюта космічного польоту

Delta-v (зміна швидкості) - так місіонери планують вимірювати вартість кожної маневру. Аби пройти від стартової платформи до ЛEO (нижчої орбіти Землі) потрібно витратити приблизно 9.4 км/с delta-v: більше, ніж швидкість орбіти 7.8 км/с, тому що потрібно боротися з гравітацією та повітряним опором під час злету.

На кожен кілограм вантажу потрібно витратити експоненційно більше палива, кероване рівнянням Тсіолковського: delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final). Це пояснює, чому ракети здебільшого складаються з палива.

Швидкість орбіти, швидкість вилову, розподіл бюджету delta-v та рівняння ракети

Тиранія рівняння ракети

Рівняння ракети

Рівняння Тсіолковського каже: delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final). Природний логарифм означає, що відношення маси палива та delta-v експоненціальне.

Для хімічної ракети з швидкістю вихря близько 3,5 км/с, досягнення ЛEO (9,4 км/с delta-v) вимагає співвідношення маси близько e^(9,4/3,5) = e^2,69 = приблизно 14,7. Це означає, що для кожного кілограма, який ви відправляєте в орбіту, вам потрібно приблизно 13,7 кг палива та структури на стартовій площадці.

З цієї причини Сатурн V важив 2800 тонн на старті, але доставив лише 130 тонн в ЛEO: співвідношення становить приблизно 21:1.

SpaceX Starship намагається вивести приблизно 150 тонн на ЛEO (нижчу орбіту Землі) з повністю рекламованої ракети. За допомогою рівняння ракети та концепції бюджету delta-v поясніть, чому рекламованість змінює економіку космічного польоту, навіть якщо це не змінює фізики. Чому рекламованість так трансформативна, якщо все одно потрібно таку ж кількість палива?

Зміна орбіт

Трансфер Хохманна

Трансфер Хохманна - це найефективніший спосіб переміщення між двома круговими орбітами. Він використовує два запуски двигуна:

1. Перший запуск (на перигей): Запалайте вгору (у напрямку руху) для підвищення протилежного боку вашої орбіти. Тепер ви перебуваєте на еліптичному трансферному орбіті, яка має низьку точку, яка торкається внутрішньої орбіти, а висока точка торкається зовнішньої орбіти.

2. Другий запуск (на апогей): Коли ви досягнете височенної точки, знову запалайте вгору, щоб закруглити в зовнішню орбіту.

Для переходу з ЛEO в геостаціонарну орбіту потрібно 3,9 км/с delta-v загалом.


Гравітаційні маневри

Гравітаційний маневр (або гравітаційний ланцюг) використовує гравітацію та рух планети для зміни швидкості космічного апарату без використання палива. Космічний апарат падає на планету, набирає швидкість, а потім віддаляється. У відносинах до планети він від'їжджає з тією ж швидкістю, з якою прибув: але в відносинах до Сонця він набирає (або втрачає) швидкість в залежності від геометрії.

Voyager 2 використовував гравітаційні маневри біля Юпітера, Сатурна та Урана, щоб досягти Нептуна: місія, яка б була неможливою за допомогою хімічної тяги в одиночку.


Зустріч та стиковування

Чи можна просто збільшити швидкість, щоб захопити інший космічний корабель у тому ж орбітальному шляху? Ні, це не працює, оскільки збільшення швидкості піднімає вашу орбіту, і насправді ви віддаляєтеся. Натомість, опускайтесь на нижчу (швидшу) орбіту, набирайте назад, а потім повернітьесь вгору, щоб зустріти ціль. Це називається фазованою орбітою.

Hohmann transfer, gravity assist slingshot, and orbital rendezvous paradox

Парадокс орбітальної механіки

Проблема з протилежним розумінням

Ви перебуваєте в круговій орбіті та хочете захопити космічний корабель, який знаходиться попереду вас в одній і тій самій орбіті. Ваш інстинкт каже випалити свої двигуни вперед, щоб збільшити швидкість та закрити відстань.

Обґрунтуйте, чому випал вперед (вперед) для збільшення швидкості насправді віддаляє вас від цілі попереду вас в одній і тій самій орбіті. Що ви маєте зробити натомість, щоб догнати її, та чому це працює? Це одна з найменш зрозуміліших результатів у орбітальній механіці.

Орбіти та траєкторії на практиці

Діаграма орбітальної механіки, яка показує ЛEO, MEO та GEO орбіти з швидкостями та еліптичною траєкторією Hohmann

Низька земна орбіти (LEO)

Альтитуда від 160 до 2000 км. Період: 90-127 хвилин. Це місце, де живе Міжнародна космічна станція (420 км), де працюють більшість земних спостережувальних супутників та де орбітують супутники SpaceX Starlink (~550 км). Для прибуття в LEO потрібно витратити приблизно 9,4 км/с від delta-v.


Геостаціонарна орбіти (GEO)

Альтитуда 35 786 км, період 24 години, екваторіальна. Супутник на цій орбіті виглядає, як якщо би він тримався непорушно в небі: ідеально для комунікацій та спостереження за погодою. Для прибуття з LEO в GEO потрібно витратити додатково ~3,9 км/с.


Лунні траєкторії

Місяць знаходиться на відстані приблизно 384 400 км. Випал транслунарної ін'єкції з LEO коштує приблизно 3,1 км/с. Аполлонові місії займали приблизно 3 дні для досягнення Місяця. Програма Artemis використовує Nearly Rectilinear Halo Orbit (NRHO) навколо Місяця як точку відправлення для Gateway.


Космічні передачі на Марс

Космічні передачі на Марс використовують траєкторії, схожі на Гохманна, які відкриваються кожні 26 місяців, коли Земля та Марс правильно вирівнюються. Перевезення займають приблизно 7-9 місяців. Загальна швидкість відпалу від ЛОК до орбіти Марса становить приблизно 5,7 км/с. Ракета-носій SpaceX Starship розроблена для місій на Марс, використовуючи орбітальне дозаправлення для завантаження достатньої кількості палива для перевезення.

Проектування місії

Проектування місії - це бюджетування delta-v

Кожна місія - це ланцюг маневрів, кожен з яких має вартість delta-v. Планувальники місій додають їх та працюють у зворотному напрямку через рівняння ракети, щоб визначити, скільки палива потрібно.

Наприклад, бюджет витрат delta-v для місії посадки на Марс може виглядати так: вставка в ЛОК (9,4 км/с) + інжекція через Марс (3,6 км/с) + вставка в орбіту Марса (1,0 км/с) + спуск та посадка (1,0 км/с) = приблизно 15 км/с загалом. Кожен етап delta-v множиться на вимогу палива експоненційно.

NASA планує людську місію на Марс. Використовуючи знання про бюджетні витрати delta-v, калібровки передач, Гохманні передачі та рівняння ракети, поясніть, чому місія на Марс значно складніша, ніж місія на Місяць. Обратитесь до принаймні двох з цих факторів: вимоги delta-v, час перевезення, обмеження вікна запуску та масу палива.

Де ця інформація веде

Фліт-динаміка та проектування місій

Люди, які планують та виконують орбітальні маневри, називаються офіцерами польотної динаміки (FDO, вимовляється як 'фідо') в NASA або інженерами GN&C (Рахунок, Навігація та Контроль) в SpaceX. Вони обчисовують траєкторії, планують згортання та спостерігають за орбітами космічних апаратів в реальному часі.


Астродинаміка

Астродинаміки - це спеціалісти, які розробляють математичні моделі руху в орбіті. Вони працюють у НАСА в Лабораторії реактивного руху (JPL), Центрі космічних досліджень Годдарда та у компаніях, таких як SpaceX, Blue Origin та Rocket Lab. Їхніми інструментами є рівняння, про які ми говорили сьогодні: закони Кеплера, рівняння vis-viva, рівняння ракети та чисельні орбітні прогнозувачі.


Маршрут

Більшість посадових осіб у галузі польотної динаміки та астродинаміки вимагає ступеня в аерокосмічній інженерії, фізиці або прикладній математиці. Ключові курси: класична механіка, диференціальні рівняння, чисельні методи, астродинаміка. Стажування у JPL та НАСА є дуже конкурентними, але є прямим підривом. SpaceX активно наймають з найкращих аерокосмічних програм і цінують практичні проекти: CubeSats, клуби ракетної техніки та змагання з оптимізації траєкторій.


Що відрізняє кандидатів

Добрі навички програмування (Python, MATLAB, C++) є не менш важливими, ніж математика. Знання інструментів, таких як GMAT (General Mission Analysis Tool) або STK (Systems Tool Kit), є цінним. Особисті проекти: симуляції траєкторій, прогнозувачі орбіт, місії CubeSat: демонструють застосоване знання, яке не може бути отримане лише за допомогою навчальної програми.

Доріжки кар'єри в галузі орбітальної механіки: FDO, астродинамік, навички та підрив

Синтез

Об'єднання всіх знань

Ви розумніте основні фізичні принципи орбітальної механіки: чому орбітальний політ - це падіння, як закони Кеплера описують рух в орбіті, що означає delta-v, як працюють трансфери Хохманна, та чому рівняння ракети керують wszystkim.

Здайтеся, що ви є офіцером польотної динаміки у SpaceX, який планує місію Starship для розгортання констеляції супутників у трьох різних орбітальних площинах у ЛEO. Використовуючи концепції орбітальної механіки з цієї лекції, описайте ключові виклики та послідовність маневрів, які ви планували. Враховуйте бюджет delta-v, зміни орбітальних площин, послідовність розгортання та будь-які компроміси, які потрібно зробити.