すべての軌道を支配する3つの法則

ケプラーの法則

物体がなぜ軌道を周回するかをニュートンが説明する前に、ヨハネス・ケプラーは物体がいかに軌道を周回するかを述べた。ティコ・ブラーエが収集した数十年分の観測データから、ケプラーは太陽系のすべての軌道を描写する3つの法則を発見した。

第1法則（楕円の法則）： すべての軌道は、中心天体を焦点とする楕円である。円は楕円の特殊ケースに過ぎない。実際のほとんどの軌道はわずかに楕円形である――物体は時々中心天体に近く（近点）、時々遠い（遠点）。

第2法則（等面積の法則）： 軌道を回る物体から中心天体に引いた直線が、等しい時間で等しい面積を掃く。これは物体が中心天体に近い時（近点）は速く移動し、遠い時（遠点）は遅く移動することを意味する。これは角運動量保存が作用していることだ。

第3法則（調和法則）： 軌道の周期の2乗は、半長軸の3乗に比例する。T の2乗は a の3乗に比例する。衛星が地球から遠いほど、1周を完成させるのに長い時間がかかる――単に道のりが長いだけでなく、また移動が遅いからだ。

ケプラーの法則の適用

実用的なケプラーの第3法則

ISSは約420 km の高度で約93分の周期で軌道を周回している。静止衛星は約35,786 km の高度で正確に24時間の周期で軌道を周回している――地球が回転する速度と同じ速度で軌道を周回するため、赤道上の1点の上に固定される。

ケプラーの第3法則はこれらを結びつける。正確な関係は T の2乗 = （4 π の2乗 / GM） * a の3乗 である。ここで a は地球の中心から測定された半長軸である（表面からではない）。

軌道の速さはどのくらいか？

円形軌道速度

円形軌道で、特定の高度で軌道を保つのに必要な速度は以下の通りだ。v = √(G*M / r)。ここで G は重力定数、M は中心天体の質量、r は天体の中心から測定された軌道半径である。

低地球軌道ではこれは約7.8 km/s に相当する――おおよそ時速28,000 km またはマッハ23。これがニュートンの砲弾が必要とする速度だ。

脱出速度

天体の重力圏を完全に離れるには、脱出速度が必要だ。v 脱出 = √(2 G M / r)。これは円形軌道速度のちょうど √2 倍である――約41％速い。

地球の表面からの脱出速度は約11.2 km/s である。

デルタ-v：宇宙飛行の通貨

デルタ-v（速度変化）は、ミッション計画者がすべての操作のコストを測定する方法だ。打ち上げパッドからLEOまで到達するのに約9.4 km/s のデルタ-v がかかる――軌道速度の7.8 km/s より多い。なぜなら、上昇中に重力と空気抵抗と戦う必要があるからだ。

ペイロードの1キログラムは指数関数的により多くの燃料を必要とします。これはツィオルコフスキーロケット方程式によって支配される。デルタ-v = v 排気 * ln(m 初期 / m 最終)。だからロケットはほぼ燃料だ。

ロケット方程式の暴力

ロケット方程式

ツィオルコフスキーロケット方程式は以下の通りだ。デルタ-v = v 排気 * ln(m 初期 / m 最終)。自然対数は燃料質量とデルタ-v の間の関係が指数関数的であることを意味する。

約3.5 km/s の排気速度を持つ化学ロケットの場合、LEO（9.4 km/s デルタ-v）に到達するには約 e^(9.4/3.5) = e^2.69 = 約14.7 の質量比が必要だ。これは軌道に投入する1キログラムごとに、約13.7 kg の燃料と構造が打ち上げパッドに必要だということを意味する。

これが土星V号は打ち上げで2,800トン重かったが、LEOに130トンしか運ばなかった理由だ――比率は約21:1である。

軌道の変更

ホーマン遷移

ホーマン遷移は、2つの円形軌道の間を移動する最も燃料効率的な方法だ。2つのエンジンの焼却を使用する。

1. 第1焼却（近点）： 順方向（進行方向）に発射して、軌道の反対側を上げる。あなたは今、低い点が内側の軌道に接し、高い点が外側の軌道に接する楕円遷移軌道上にいる。

2. 第2焼却（遠点）： 高い点に到達すると、再び順方向に発射して、外側の軌道に円形化する。

LEOから静止軌道へ移動するには、約3.9 km/s のデルタ-v が合計で必要だ。

重力援助

重力援助（または重力スリングショット）は、惑星の重力と軌道運動を使用して、燃料を使わずに宇宙船の速度を変える。宇宙船は惑星に向かって落ち、速度を上げ、その後揺らぐ。惑星に対して相対的に、到着した速度と同じ速度で去る――しかし太陽に対して相対的に、幾何学に応じて速度を得（または失）った。

ボイジャー2号は木星、土星、天王星での重力援助を使用して海王星に到達した――化学推進だけでは不可能だったミッションだ。

ランデブーとドッキング

同じ軌道で別の宇宙船をキャッチするには、単に速度を上げることはできない――それは軌道を上げ、あなたは実際に離れる。代わりに、より低い（より速い）軌道に降り、地面を獲得し、その後、対象と会うために上がる。これはフェーズング軌道と呼ばれている。

軌道力学のパラドックス

反直感的な問題

あなたは円形軌道にいて、同じ軌道で前方にある宇宙船をキャッチしたいと思う。あなたの本能は、エンジンを前方に発射して速度を上げてギャップを縮めることだ。

実践における軌道と軌跡

低地球軌道（LEO）

高度160-2,000 km。周期：90-127分。ここはISSが住んでいる場所（420 km）、ほとんどの地球観測衛星が動作し、SpaceX スターリンク衛星が軌道を周回する（約550 km）。LEO に到達するのに約9.4 km/s のデルタ-v がかかる。

静止軌道（GEO）

高度35,786 km、24時間周期、赤道。この衛星は空の中で動かないように見える――通信と気象監視に完璧である。LEO から GEO への進行には追加で約3.9 km/s がかかる。

月面軌跡

月は約384,400 km 離れている。LEO からの月面遷移注入焼却は約3.1 km/s かかる。アポロミッションは月に到達するのに約3日かかった。アルテミス計画は月の周りの近日中線ハロー軌道（NRHO）をゲートウェイの足がかりとして使用している。

火星転送ウィンドウ

火星転送はホーマンのような軌跡を使用し、地球と火星が正しく整列したときに26ヶ月ごとに開く。転送は約7-9ヶ月かかる。LEO から火星軌道への合計デルタ-v は約5.7 km/s である。SpaceX スターシップは火星ミッション用に設計され、転送に十分な推進剤を積むために軌道推進を使用する。

ミッションの設計

ミッション設計はデルタ-v 予算である

すべてのミッションは操作の連鎖であり、それぞれがデルタ-v のコストを持つ。ミッション計画者はそれらを合計し、ロケット方程式を通じて必要な推進剤の量を決定するために逆方向に動く。

たとえば、火星着陸ミッション予算は以下のようになります。LEO 挿入（9.4 km/s）+ 火星間遷移注入（3.6 km/s）+ 火星軌道挿入（1.0 km/s）+ 降下と着陸（1.0 km/s）=合計約15 km/s。デルタ-v の各段階は燃料要件を指数関数的に乗算する。

この知識があなたを連れて行くところ

フライト・ダイナミクスとミッション設計

軌道操作を計画および実行する人々は、NASAではフライト・ダイナミクス・オフィサー（FDO、「フィド」と発音）、またはSpaceX では GN&C（ガイダンス、ナビゲーション、および制御）エンジニアと呼ばれている。彼らは軌跡を計算し、焼却を計画し、リアルタイムで宇宙船の軌道を監視する。

天文力学

天文力学者は軌道運動の数学的モデルを開発する専門家である。彼らはNASAのジェット推進研究所（JPL）、ゴダード宇宙飛行センター、およびSpaceX、Blue Origin、Rocket Lab などの企業で働いている。彼らのツールは今日カバーした方程式――ケプラーの法則、ビス-ビバ方程式、ロケット方程式、および数値軌道伝播者である。

パス

ほとんどのフライト・ダイナミクスおよび天文力学の役割には、航空宇宙工学、物理学、または応用数学の学位が必要である。主要なコースワーク：古典力学、微分方程式、数値方法、および天文力学。JPL および NASA インターンシップは競争が激しいが、最も直接的なパイプラインである。SpaceX はトップ航空宇宙プログラムから積極的に採用し、実践的なプロジェクトを高く評価している――キューブサット、ロケット俱楽部、軌跡最適化競技。

候補者を際立たせるもの

コーディング能力（Python、MATLAB、C ++）は数学と同じくらい重要である。GMAT（General Mission Analysis Tool）または STK（Systems Tool Kit）などのツールに精通していることは価値がある。個人プロジェクト――軌跡シミュレーション、軌道伝播者、CubeSat ミッション――はコースワークだけでは実証しない応用知識を実証している。

総合

すべてを一つにまとめる

あなたは軌道力学のコア物理学を理解している。なぜ軌道は落下であるのか、ケプラーの法則がいかに軌道運動を描写するか、デルタ-v が何を意味するか、ホーマン遷移がいかに機能するか、そしてロケット方程式がなぜすべてを支配するか。