un

guest
1 / ?
back to lessons

ようこそ

宇宙へ行くのは上に上がることではない。地球を横切る速度で落ちてしまうように、周りを回る。

1687年、アイザック・ニュートンは次のような思想実験を行った。高山の頂上に大砲があると想像してみよう。水平に砲弾を発射する。砲弾は弧を描いて地面に落ちる。砲弾を速く発射する：それが地面に落ちる前に遠くまで行く。砲弾を速さで、砲弾の落ちる曲線が地球の曲線と一致するまで発射する。地面に落ちることはなく、周りを回る軌道に乗る。

その見解：軌道は制御された落下である：これが続くすべての基盤である。すべての衛星、宇宙ステーション、惑星間探査機は、非常に高度な砲弾であるだけである。

このレッスンでは、ロケットが軌道に乗ることと、宇宙船が惑星間を移動するための物理学をカバーします。これは、NASA、SpaceX、地球上のすべての宇宙機関が毎日使用する数学です。

ウォームアップ

はじめる前に

国際宇宙ステーションは、ニューヨークからボストンまでの距離の1/4程度の高度、地球の約400km上に軌道を回っている。ステーション内のアストロノーツは、地球から遠くにいないのです。でも彼らは浮いている。

ISSは地球の表面の約90%の重力で400km上にあります。なぜアストロノーツが浮いているのか？物理的に何が起こっているのか？

すべての軌道を支配する3つの法則

ケプラーの法則

ニュートンが物体が軌道を回る理由を説明する前に、ヨハネス・ケプラーは物体が軌道をどのように回るかを説明しました。ティコ・ブラヘが数十年の観測データを収集したものを元に、ケプラーは太陽系のすべての軌道を説明する3つの法則を発見しました。


第一法則（楕円法則）：軌道は、中央体が一つの焦点にある楕円です。円は楕円の特別な場合です。実際の軌道はほとんどがわずかに楕円的です：物体は時々中央体から近い位置（遠点）にあり、時々遠い位置（近点）にあります。


第二法則（等面積法則）：軌道上の物体から中央体への線が、等面積の面積を等速にスイープします。このことは、物体が軌道を回るとき、物体が遠い位置（近い近点の近く）で遅く、遠い位置（近い遠点の近く）で速く移動することを意味します。これは角運動量の保存の効果です。


第三法則（調和法則）：軌道の周期の二乗は、その半長軸の三乗の平方と比例します：Tの二乗はaの三乗に比例します。地球の周りを回る衛星が遠い場所にある場合、1周するのに長い時間がかかります：ただし、道が長いだけでなく、より遅く移動することも原因です。

Keplerの3つの法則：楕円、等面積、そして調和法則の軌道比較

ケプラーの法則を適用する

ケプラーの第三法則の実際の適用

ISSは約93分で1周し、約42000mの高度で軌道を回転しています。地球同期衛星は約35786kmの高度で軌道を回転し、1日で正確に24時間、地球が回転する同じ速度で回転しているため、赤道上の特定の地点を常に覆っています。

ケプラーの第三法則はこれらの関係性を結びつけています：高度が高いと期間が長くなります。正確な関係式は、地球の中心からの半長軸aを測定した場合、Tの二乗=(4 piの二乗 / G M) * aの三乗です。

地球低軌道の衛星が42000mの高度で約90分で1周完了し、35786kmの高度の地球同期衛星が24時間で1周完了する場合、ケプラーの第二および第三の法則を用いて、次の2つのことを説明してください。 (1) どちらの衛星が速く移動しているかおよびなぜ、そして (2) 輝線星が太陽に向かって近づく際に急速に加速する理由

軌道の速度は?

円形軌道の軌道速度

円形軌道を維持するために必要な速度は、次の式で計算されます：v = sqrt(G*M / r)。ここで、Gは重力定数、Mは中心的な物体の質量、rは物体の中心から軌道半径です。

地球の低軌道の場合、これは約7.8 km/sになります。これは、約28,000 km/hまたはMach 23です。これがニュートンのライフル弾が必要とする速度です。


脱出速度

完全に物体の重力の影響から離脱するためには、脱出速度が必要です：v_escape = sqrt(2 G M / r)。これは円形軌道の速度と正確にsqrt(2)倍になります：約41%高速です。

地球の表面から見ると、脱出速度は約11.2 km/sです。


Delta-v：宇宙飛行の通貨

Delta-v（速度の変化）は、ミッションプランナーがすべての操縦行動のコストを測定する方法です。打ち上げパッドからLEOまでのコストは、約9.4 km/sのDelta-vです。これは、軌道速度の7.8 km/sよりも多く、昇昇中に重力と対気抵抗を克服する必要があるためです。

各キログラムのペイロードには、Tsiolkovskyロケット方程式によって指数関数的に多くの燃料が必要です：delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)。これがなぜロケットがほとんど燃料である理由です。

軌道速度、脱出速度、デルタV予算の分解とロケット方程式図

ロケット方程式の独裁

ロケット方程式

Tsiolkovskyロケット方程式は、delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)です。自然対数のため、燃料質量とdelta-vの関係は指数関数です。

化学ロケットで排気速度が約3.5 km/sの場合、LEO（9.4 km/sのデルタV）に到達するためには、質量比が約e^(9.4/3.5) = e^2.69 = 14.7に近いものになります。それは、軌道に1キログラムを置くために、打ち上げ時には約13.7 kgの燃料と構造が必要になることを意味します。

これがなぜサターンVは打ち上げ時には2,800トンで、LEOに130トンを投入することができるのか：それは約21:1の比率になります。

SpaceX Starshipは、完全再利用可能な車両で約150トンのLEOに投入することを目指しています。ロケット方程式とデルタV予算の概念を用いて、再利用性が宇宙飛行の経済学を変える原因は物理法則を変えないにもかかわらず、どのように説明しますか？なぜ再利用性が燃料が同じ量であるにもかかわらず、経済学を変えるほど変革的であると言われていますか？

軌道の変更

ホーマン転移

ホーマン転移は、2つの円形軌道間を移動する最も燃料効率の良い方法です。これは、2つのエンジン燃焼を使用します：

1. 第1段階の燃焼（ cận điểm）: 火星進向（移動方向）に燃焼して、軌道の対角部分を上げます。現在は、内側の軌道の低点と外側の軌道の高点を接する楕円形の転移軌道にあります。

2. 第2段階の燃焼（遠点）: 高点に達すると、再び火星進向に燃焼して外側の軌道を円形に circularize します。

LEOから地球同期軌道に移動するには、総計で約3.9 km/sのデルタVが必要です。


重力助走

重力助走（重力スリングショット）は、惑星の重力と軌道運動を利用して、燃料を使用せずに宇宙船の速度を変更します。宇宙船は惑星に向かって落下し、速度を得て、遠ざかります。惑星からの相対速度は到着時と同じですが、太陽からの相対速度は、幾何学的条件に応じて速度を得るか失います。

ボイジャー2は、ユリシーズ、土星、ウランスを通過する重力助走を使用して、海王星に到達しました：化学推進力だけでなく、missionが不可能でした。


會合と結合

別の宇宙船を同じ軌道上で捕獲するには、単に速度を上げるだけではありません：それは軌道を高くし、実際には離れます。代わりに、より低い（速い）軌道に降り、地位を得て、ターゲットに会うために再び高く上げます。このことをフェーズ軌道と呼びます。

Hohmann transfer, gravity assist slingshot, and orbital rendezvous paradox

軌道力学のパラドックス

直感に反する問題

あなたは円形軌道にあり、同じ軌道上で先に進んでいる宇宙船を捕獲したいと考えています。あなたの直感は、前方にエンジンを火を放つことで速度を上げ、ギャップを縮めるということです。

プロード（前方）に火を放つと、同じ軌道上の先に進んでいるターゲットから遠ざかる理由を説明してください。どのようにして追跡するか、そしてどのようにして効果が現れるかを説明してください。これは軌道力学の最も直感しない結果の1つです。

軌道と軌道の実践

軌道力学の図でLEO、MEO、GEO軌道と速度とHohmann転移楕円体が示されています

低地球軌道（LEO）

地球からの高さ160-2,000 km。期間：90-127分。この軌道では、ISSが住む（420 km）、大部分の地球観測衛星が運営されており、SpaceX Starlink衛星も軌道にあります（約550 km）。LEOに到達するには、デルタV（速度変化）約9.4 km/sが必要です。


地球同期軌道（GEO）

地球からの高さ35,786 km、24時間の期間、赤道。衛星は地球の背景に静止しているように見えます：通信や気象観測に最適です。LEOからGEOに至るまでの追加的な速度変化は、約3.9 km/sが必要です。


月の軌道

月は約384,400 km離れています。LEOから月へのトランズルーナーインジェクションバーン（Trans-Lunar Injection Burn）は、約3.1 km/sが必要です。アポロミッションは、月に至るまで3日かかりました。アリテミスプログラムでは、ゲートウェイのステージングポイントとして月の周りで近い直線的Halo軌道（NRHO）を使用しています。


マーズ移転ウィンドウ

マーズ移転は、地球とマーズが正確に整列している時に開くホルマン様の軌道を使用します。移転は約7-9ヶ月かかります。LEOからマーズ軌道への総delta-vは約5.7 km/sです。SpaceX Starshipはマーズミッションのために設計されており、軌道補燃料を使用して移転に必要な燃料を搭載します。

ミッション設計

ミッション設計はデルタV予算設定

すべてのミッションは、各々がデルタVコストをもつマニフェストです。ミッションプランナーはこれらの値を合計し、ロケット方程式を逆算して必要な推進剤の量を決定します。

例えば、マーズ着陸ミッションの予算は次のようになります：LEOへの投入（9.4 km/s）+ マーズへの通過インジェクション（3.6 km/s）+ マーズ軌道へのインジェクション（1.0 km/s）+ 降下および着陸（1.0 km/s）= 約15 km/sの合計です。デルタVの各段階は推進剤の必要量を指数関数的に増やすのです。

NASAは有人マーズミッションを計画しています。デルタV予算、移転ウィンドウ、ホルマン移転、そしてロケット方程式に関するあなたの知識を活用して、月ミッションと比べてマーズミッションがどれだけ難しいのかを説明してください。少なくとも2つの要素を扱ってください：delta-v要件、移転時間、発射ウィンドウ制約、および推進剤質量。

この知識がどこに至るか

飛行力学およびミッション設計

軌道運動を計画・実行する人々は、NASAでは飛行力学官（FDO、'fido'と発音）や、SpaceXではGN&C（Guidance, Navigation, & Control）エンジニアと呼ばれます。彼らは軌道を計算し、バーンを計画し、リアルタイムで宇宙船の軌道を監視します。


天体力学

アストロダイナミクス専門家は、軌道運動の数学モデルを開発する専門家です。彼らはNASAのジェット推進研究所（JPL）、ゴダード宇宙飛行センター、スペースX、ブルーオーリオン、ロケットラボなどの企業で働いています。彼らのツールは、今日カバレッドした式々です：ケプラーの法則、vis-viva式、ロケット式、数値軌道伝播子。


The Path

ほとんどのフライトダイナミクスおよびアストロダイナミクスの役割は、航空宇宙工学、物理学、応用数学の学位が必要です。重要な科目：古典力学、微分方程式、数値法、アストロダイナミクス。JPLおよびNASAのインターンシップは非常に競争的ですが、最も直接的なパイプラインです。スペースXはトップの航空宇宙プログラムから積極的に採用し、Hands-onプロジェクト：CubeSats、ロケットクラブ、軌道最適化競技を高く評価します。


What Sets Candidates Apart

プログラミング能力（Python、MATLAB、C++）は数学と同じくらい重要です。GMAT（General Mission Analysis Tool）またはSTK（Systems Tool Kit）などのツールの知識は価値があります。パーソナルプロジェクト：軌道シミュレーション、軌道伝播子、CubeSatミッション：学科 Aloneでないで適用された知識を示します。

軌道力学のキャリアパス：FDO、astrodynamicist、スキル、およびパイプライン

Synthesis

Putting It All Together

あなたは軌道力学の核心物理学を理解しています：何故軌道は落ちているか、ケプラーの法則が軌道運動を説明するか、デルタVの意味は何か、ホーマン転移がどのように機能するか、そして何故ロケット式がすべてを支配するのか。

スペースXでのフライトダイナミクスオフィサーとして、Starshipミッションを実行し、LEOに3つの異なる軌道面に衛星の定常を展開する計画をしています。 このレッスンの軌道力学の概念を使用して、鍵の課題と計画された操作の順序を説明してください。デルタV予算、軌道面変更、展開順序、および必要なトレードオフを考慮してください。