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अंतरिक्ष में जाने के बारे में नहीं, बल्कि साइडवेज में जाना है: ताकि आप धरती के चारों ओर गिरें बजाय इसके कि वापस उस पर गिर जाएं।

1687 में, आइज़क न्यूटन ने एक सोची-समझी हुई परिकल्पना की: कल्पना कीजिए कि धरती के एक बहुत ही ऊंचे पर्वत के ऊपर एक तोप रखी हो। तोप को क्षैतिज रूप से छोड़ दें। यह धरती की परिक्रमा करता है और कभी नहीं गिरता।

यह विचार: कक्षा नियंत्रित गिरावट है: जो आगे में प्रत्येक उपग्रह, प्रत्येक अंतरिक्ष स्टेशन, प्रत्येक ग्रह-संबंधी परीक्षण का आधार है।

इस पाठ का यह भाग राकेटों को कक्षा में ले जाने वाली और अंतरिक्ष यानों को ग्रहों के बीच स्थानांतरित करने वाली भौतिकी को कवर करता है। यह वह गणित है जिसे NASA, SpaceX और पृथ्वी पर हर दिन काम करने वाली प्रत्येक अंतरिक्ष एजेंसी उपयोग करती है।

पूर्वाभ्यास

शुरू होने से पहले

अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन धरती के 400 किमी ऊपर की परिक्रमा करता है। यह न्यू यॉर्क से बोस्टन के बीच की दूरी से कम है। स्टेशन के अंदर के अंतरिक्ष यात्री धरती से बहुत दूर नहीं हैं: फिर भी वे वायु-दाब में रहते हैं।

आईएसएस केवल 400 किमी ऊपर है और वहां की त्वरण धरती की सतह पर मात्र 90% है। इसलिए अंतरिक्ष यात्री क्यों वायु-दाब में रहते हैं? वास्तव में क्या वैज्ञानिक रूप से हो रहा है?

तीन नियम जो सभी कक्षाओं को नियंत्रित करते हैं

केप्लर के नियम

न्यूटन ने क्यों वस्तुएँ कक्षा में घूमती हैं इसका कारण बताया से पहले, जोहानेस केप्लर ने कक्षा में घूमने का तरीका बताया। टाइको ब्राहे द्वारा संग्रहीत की गई दशकों की देखभाल के डेटा, से काम करके, केप्लर ने तीन कानूनों का पता लगाया जो सूर्य के प्रणाली में हर कक्षा को वर्णित करते हैं।


प्रथम कानून (कक्षीय कानून): हर कक्षा में केंद्रीय शरीर के एक केन्द्र बिन्दु पर एक अंडाकार होती है। एक वृत्त सिर्फ एक विशेष मामला है एक अंडाकार। वास्तविक कक्षाओं का अधिकांश थोड़े से अंडाकार होते हैं: वस्तु केंद्रीय शरीर के करीब (परियाप्सिस) और कभी-कभी दूर (अपोअप्सिस) होती है।


दूसरा कानून (बराबर क्षेत्रफल): कक्षा में घूमने वाली वस्तु से केंद्रीय शरीर की ओर जाने वाली रेखा बराबर क्षेत्रफलों को बराबर समय में स्कैन करती है। इसका मतलब है कि वस्तु केंद्रीय शरीर के चारों ओर तेजी से चलती है जब यह शरीर के करीब होता है (परियाप्सिस के पास) और धीरे चलती है जब वह दूर होता है (अपोअप्सिस के पास)। यह एंगुलर मोमेंटम का संरक्षण है।


तीसरा कानून (हरमोनिक कानून): कक्षा के अवधि के वर्ग का कक्षा के अर्द्ध-मुख्य अक्ष के घन के बराबर होता है: T-squared का a-cubed से आनुपातिक होता है। पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह दूर होता है, इसलिए एक कक्षा को पूरा करने में अधिक समय लगता है: सिर्फ इसलिए कि मार्ग लंबा होता है, बल्कि इसलिए भी कि यह और धीरे चलता है।

केप्लर के तीन कानून: अंडाकार, बराबर क्षेत्रफल, और हरमोनिक कानून के साथ कक्षा तुलना

केप्लर के अनुप्रयोग

केप्लर के तीसरे कानून का प्रयोग

आईएसएस 420 किमी ऊंचाई पर कक्षा को लगभग 93 मिनट में पूरा करता है। भू-स्थिर उपग्रह 35,786 किमी ऊंचाई पर कक्षा को 24 घंटे में पूरा करते हैं: वे इसलिए एक पॉइंट पर स्थिर रहते हैं क्योंकि वे पृथ्वी के समान रूप से घूमते हैं।

केप्लर के तीसरे कानून इन्हें जोड़ते हैं: ऊंची कक्षा मतलब लंबी अवधि। सही संबंध है T-squared = (4 pi-squared / GM) * a-cubed, जहां a पृथ्वी के केंद्र (नहीं सतह) से मापा गया कक्षा का अर्द्ध-मुख्य अक्ष है।

पृथ्वी की निम्न कक्षा में एक उपग्रह 400 किमी ऊंचाई पर कक्षा को लगभग 90 मिनट में पूरा करता है। एक भू-स्थिर उपग्रह 35,786 किमी ऊंचाई पर 24 घंटे लेता है। केप्लर के दूसरे और तीसरे कानूनों का उपयोग करके, दो चीजें समझाइए: (1) जो उपग्रह तेजी से चलते हैं और क्यों, और (2) क्यों कमेट्स सूर्य के निकट तेजी से बढ़ते हैं।

कक्षा में कितनी तेजी से चलना पड़ता है?

परिक्रमा वाला कक्षीय वेग

एक परिक्रमा कक्षा में, कक्षीय वेग को कक्षा की ऊंचाई के अनुसार बनाए रखने के लिए आवश्यक होता है: v = sqrt(G*M / r), जहां G गुरुत्वाकर्षण का स्थिरांक है, M केंद्रीय शरीर की मात्रा है, और r कक्षीय रेडियस केंद्रीय शरीर के केंद्र से मापा जाता है।

पृथ्वी की निम्न कक्षा के लिए, यह लगभग 7.8 किमी/से होता है: लगभग 28,000 किमी/घंटा या माच 23। यह न्यूटन के कैननबॉल को पहुंचने की आवश्यकता है।


बचाव वेग

ग्रह की गुरुत्वाकर्षण की विशेषता से पूरी तरह से बचने के लिए, आपको बचाव वेग की आवश्यकता होती है: v_escape = sqrt(2 G M / r)। यह देखते हुए कि यह परिक्रमा कक्षीय वेग की sqrt(2) गुणा होता है: लगभग 41% तेज़।

पृथ्वी की सतह से, बचाव वेग लगभग 11.2 किमी/से होता है।


Delta-v: अंतरिक्ष यान की लागत

Delta-v (वेग में परिवर्तन) मिशन प्लानरों द्वारा हर आंदोलन की लागत को मापने का तरीका है। लॉन्च पैड से LEO तक जाने की लागत लगभग 9.4 किमी/से की delta-v होती है: क्योंकि आप विस्थापन और वायु प्रतिरोध को लड़ने के लिए भी गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ लड़ना पड़ता है जब विस्तार होता है।

प्रत्येक किलोग्राम पेलोड को त्रिकोणीय रूप से अधिक ईंधन की आवश्यकता होती है, जो त्सियोल्कोव्स्की रॉकेट संबंधी सूत्र द्वारा नियंत्रित की जाती है: delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)। यह रॉकेटों के अधिकांश ईंधन होने के कारण समझाता है।

कक्षीय वेग, बचाव वेग, delta-v बजट विवरण, और रॉकेट संबंधी सूत्र

रॉकेट संबंधी सूत्र की तानाशाही

रॉकेट संबंधी सूत्र

त्सियोल्कोव्स्की रॉकेट संबंधी सूत्र कहते हैं: delta-v = v_exhaust * ln(m_initial / m_final)। प्राकृतिक लोगारिथम का अर्थ है कि ईंधन की मात्रा और delta-v के बीच संबंध घातीय है।

एक रासायनिक रॉकेट के लिए जिसकी विस्थापन वेग लगभग 3.5 किमी/से है, LEO (9.4 किमी/से डेल्टा वी) प्राप्त करने के लिए लगभग e^(9.4/3.5) = e^2.69 = लगभग 14.7 की मास अनुपात की आवश्यकता होती है। इसका मतलब है कि आप परिक्रमा में किसी भी किलोग्राम डालते हैं, आपको लगभग 13.7 किग्रा ईंधन और संरचना लॉन्च पैड पर चाहिए।

इसी कारण से सैटर्न वी का वजन लॉन्च के समय 2,800 टन था, लेकिन उसने केवल 130 टन को LEO में पहुंचाया: एक अनुपात के लगभग 21:1।

स्पेसएक्स स्टारशिप 150 टन के लगभग LEO में डालर के लिए एक पूरी तरह से पुनर्निर्मित यान का लक्ष्य रखता है। रॉकेट संबंधी सूत्र और delta-v बजट के विचार के साथ, समझाइए कि पुनर्निर्माण का अर्थविज्ञान अंतरिक्ष यान के लिए परिवर्तित करता है, हालांकि यह भौतिकी नहीं बदलता है। यदि आपको अभी भी समान मात्रा में ईंधन की आवश्यकता है, तो पुनर्निर्माण क्यों इतना परिवर्तित करता है।

ऑर्बिट बदलना

होहमन ट्रांसफर

होहमन ट्रांसफर दो सर्कुलर ऑर्बिट के बीच मूवमेंट के लिए सबसे ईंधन कुशल तरीका है। इसका उपयोग दो इंजन जलने के लिए किया जाता है:

1. प्रथम जलना (परिप्सिस पर): परिप्सिस पर प्रोग्रेड (प्रवाह की दिशा में) जलाएं, जो आपकी ओरбит के विपरीत पक्ष को बढ़ाता है। अब आप एक एलिप्टिकल ट्रांसफर ओर्बिट पर हैं, जिसका निचला बिंदु अंदर की ओरबिट को छूता है और उच्च बिंदु बाहर की ओरबिट को छूता है।

2. दूसरा जलना (अपोअप्सिस पर): जब आप उच्च बिंदु पर पहुंचते हैं, तब प्रोग्रेड फिर से जलाएं और अंदर की ओरबिट को सर्कुलराइज करें।

लो अर्थ के लिए LEO से जाने के लिए कुल 3.9 किमी/से डेल्टा वी की आवश्यकता होती है।


ग्रैविटी असिस्ट

ग्रैविटी असिस्ट (या ग्रैविटेशनल स्लिंगशॉट) एक प्लेनेट की ग्रैविटी और ध्रुवीय गति का उपयोग करता है ताकि एक स्पेसक्राफ्ट की गति बदल सके बिना ईंधन के उपयोग के। स्पेसक्राफ्ट प्लेनेट की ओर गिरता है, तेजी से आता है, फिर से स्विंग होता है। प्लेनेट के संबंध में, यह वापस उसी गति से जाता है जिस पर आया था: लेकिन सूर्य के संबंध में, इसके आधार पर गति हासिल (या खो) होती है।

वायाजर 2 ने जुपिटर, सैटर्न, और यूरेनस के ग्रैविटी असिस्ट का उपयोग करके नेपच्यून तक पहुंचने का प्रयास किया: जो कि रासायनिक प्रवर्धन के बिना संभव नहीं होता।


रेंडेव़ूस और डॉकिंग

अन्य एक स्पेसक्राफ्ट को उसी कक्षा में पकड़ने के लिए, आप सीधे तेजी से नहीं सकते: यह आपकी कक्षा को ऊंचा करता है और आपको वास्तव में दूर ले जाता है। इसके बजाय, आप नीचे गिरते हैं (तेज) कक्षा में, जमीन हासिल करते हैं, फिर लक्ष्य को मिलने के लिए वापस ऊपर उठाते हैं। इसे फेजिंग कक्षा कहा जाता है।

Hohmann transfer, gravity assist slingshot, and orbital rendezvous paradox

कक्षा मेकेनिक्स परADOX

एक विपरीत समस्या

आप एक सर्कुलर कक्षा में हैं और आप उसी कक्षा में आपके सामने मौजूद एक स्पेसक्राफ्ट को पकड़ना चाहते हैं। आपकी धारणा है कि आपको आगे की ओर अपने इंजनों को जलाने के लिए तेजी से आगे बढ़ने के लिए कि आप कक्षा को बंद कर सकते हैं।

फायरिंग प्रोग्रेड (आगे) के लिए जो तेजी से होता है वह एक लक्ष्य के सामने की ओर मौजूद आपको वास्तव में दूर क्यों ले जाता है? आपको इसके बजाय क्या करना चाहिए और यह काम क्यों करता है, यह एक कक्षा मेकेनिक्स में सबसे विपरीत परिणामों में से एक है।

कक्षा और ट्रैक्ट्रीज़ प्रैक्टिस में

कक्षा मेकेनिक्स डाइग्राम जिसमें LEO, MEO, और GEO कक्षाएं वेगों के साथ एक Hohmann ट्रांसफर वृत्त दिखाई देते हैं

निम्न धरातल कक्षा (LEO)

160-2,000 किमी ऊंचाई। अवधि: 90-127 मिनट। इस जगह पर ISS रहता है (420 किमी), जहां अधिकांश धरती के अवलोकन उपग्रह काम करते हैं, और जहां SpaceX Starlink उपग्रहों की कक्षा होती है (~550 किमी)। LEO से जाने की लागत लगभग 9.4 km/s की डेल्टा-वी है।


भू-स्थिर कक्षा (GEO)

35,786 किमी ऊंचाई, 24-घंटे की अवधि, समतल। एक साथ यह दिखाई देता है: संचार और मौसम निगरानी के लिए आदर्श। LEO से GEO के लिए अतिरिक्त ~3.9 km/s की लागत होती है।


चंद्रमा के लिए ट्रैक्ट्रीज़

चंद्रमा की दूरी लगभग 384,400 किमी है। LEO से ट्रांस-लूनर इंजेक्शन जलाने की लागत लगभग 3.1 km/s है। Apollo मिशनों को धरती से 3 दिन का समय लगता था। Artemis कार्यक्रम ने चंद्रमा के चारों ओर गेटवे के एक निकट-रेक्टिलाइनर हालो कक्षा (NRHO) का उपयोग एक मंच के रूप में किया।


मंगल ग्रह ट्रांसफर विंडोज

मंगल ग्रह ट्रांसफर होहमान-जैसी ट्रैक्ट्री का उपयोग करते हैं जो हर 26 महीने में地球 और मंगल ग्रह सही रूप से संरेखित होने पर खुलते हैं। ट्रांसफर का समय लगभग 7-9 महीने होता है। LEO से मंगल ग्रह कक्षा में कुल delta-v लगभग 5.7 km/s है। स्पेसएक्स स्टारशिप को मंगल ग्रह मिशन के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो ऑर्बिटल रिफ्यूलिंग का उपयोग करके ट्रांसफर के लिए पर्याप्त प्रोपेल्लेंट लोड करने के लिए।

मिशन डिज़ाइन करना

मिशन डिज़ाइन डेल्टा वी बजटिंग है

हर मिशन एक कette का सिलसिला है, प्रत्येक के साथ delta-v लागत। मिशन प्लानर्स इन्हें जोड़ते हैं और रॉकेट समीकरण के माध्यम से वापस काम करते हैं ताकि आवश्यक मात्रा में प्रोपेल्लेंट का निर्धारण किया जा सके।

उदाहरण के लिए, एक मंगल ग्रह लैंडिंग मिशन बजट में दिख सकता है: LEO प्रवेश (9.4 km/s) + trans-Mars इंजेक्शन (3.6 km/s) + मंगल ग्रह कक्षा में प्रवेश (1.0 km/s) + नीचे जाना और लैंडिंग (1.0 km/s) = लगभग 15 km/s कुल। प्रत्येक चरण के delta-v का प्रोपेल्लेंट आवश्यकता को मात्रात्मक रूप से बढ़ाते हैं।

नासा एक कर्मचारी मंगल ग्रह मिशन की योजना बना रहा है। delta-v बजट, ट्रांसफर विंडोज, होहमान ट्रांसफर और रॉकेट समीकरण के बारे में जो आप जानते हैं, मंगल ग्रह मिशन को चांद मिशन से कितना अधिक कठिन क्यों मानते हैं। कम से दो इन कारकों को संबोधित करें: delta-v आवश्यकताएं, ट्रांसफर समय, लॉन्च विंडो निर्भरता और प्रोपेल्लेंट मास।

यह ज्ञान कहाँ ले जाता है

उड़ान गति और मिशन डिजाइन

जो लोग उपग्रह यात्राओं का निर्णय लेते हैं और निष्पादित करते हैं, उन्हें नासा में उड़ान गति अधिकारी (FDO, 'फ़िडो' के रूप में उच्चारित) या स्पेसएक्स में जीएन&C (Guidance, Navigation, & Control) इंजीनियर कहा जाता है। वे ट्रैक्ट्री, बर्न का निर्धारण करते हैं और वास्तविक समय में अंतरिक्ष यान की कक्षाओं को निरीक्षण करते हैं।


अष्ट्रोडाइनामिक्स

अस्त्रोदायनामिक्स्ट्स हैं जो ध्रुवीय गति के गणितीय मॉडल विकसित करते हैं। वे NASA के जेट प्रोपल्शन लैबोरेटरी (JPL), गोड्डार्ड स्पेस फ्लाइट सेंटर और स्पेसेक्स, ब्लू ओरिजिन और रॉकेट लैब जैसे कंपनियों में काम करते हैं। उनके उपकरण आज के विषय में कवर किए गए समीकरण हैं: केप्लर के नियम, विस-विवा समीकरण, रॉकेट समीकरण और संख्यात्मक कक्षा प्रसारित करने वाले।


रास्ता

प्रमुख उड्डयन विज्ञान और अस्त्रोदायनामिक्स भूमिकाएँ विमान विनिर्माण, भौतिक विज्ञान या अनुप्रयुक्त गणित में स्नातक की डिग्री की मांग करती हैं। मुख्य पाठ्यक्रम: क्लासिकल मेकेनिक्स, विभाज्य समीकरण, संख्यात्मक विधियाँ और अस्त्रोदायनामिक्स। JPL और NASA इंटर्नशिप्स काफी प्रतिस्पर्धी होते हैं, लेकिन सबसे सीधी पाइपलाइन हैं। SpaceX टॉप एरोस्पेस प्रोग्रामों से आक्रामक रूप से नियुक्त करते हैं और हाथों से परियोजनाओं को मूल्यांचित करते हैं: क्यूबसैट, रॉकेटी क्लब और ट्रैक्ट्री ऑप्टिमाइजेशन प्रतियोगिता।


उम्मीदवारों को अलग बनाने वाली चीजें

कोडिंग क्षमता (पायथन, MATLAB, C++) गणित से अधिक महत्वपूर्ण है। GMAT (जनरल मिशन एनालिसिस टूल) या STK (सिस्टम्स टूल किट) जैसे उपकरणों के साथ परिचित होना मूल्यवान है। निजी परियोजनाएँ: ट्रैक्ट्री सिमुलेशन, कक्षा प्रसारित करने वाले, क्यूबसैट मिशन: पाठ्यक्रम के अलावा अनुप्रयोगित ज्ञान को प्रदर्शित करते हैं।

कक्षा मेकेनिक्स करियर पथ: FDO, अस्त्रोदायनामिक्स्ट, क्षमता और पाइपलाइन

संश्लेषण

सारांश

अब आप orbital mechanics के मुख्य भौतिकी समझते हैं: क्यों कक्षा गिर रही है, कैसे केप्लर के नियम कक्षीय गति का वर्णन करते हैं, delta-v का क्या मतलब है, कैसे होहमन ट्रांसफर काम करते हैं, और क्यों रॉकेट समीकरण सब कुछ नियंत्रित करता है।

उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि आप SpaceX में एक उड्डयन dynamics officer हैं, जो Starship मिशन का निर्माण करता है जो LEO में तीन अलग-अलग कक्षीय रेखाओं में सैटेलाइट की एक स्टार के छंटनी को तैनात करता है। इस सबक के orbital mechanics सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, मिशन की प्रमुख चुनौतियों का वर्णन करें और आप योजना बनाने के लिए क्रम का वर्णन करें। delta-v बजट, कक्षीय रेखा परिवर्तन, तैनाती क्रम, और आपको बनाने के लिए किसी भी व्यापार-ऐच्छिक आपके द्वारा करने की जरूरत होगी।