汉明是如何学习数字滤波器的
汉明以数学家的身份接触了数字滤波器, 而不是电气工程师。 当他问工程师们为什么使用正弦函数而不是多项式或贝塞尔函数, 没有人给出了令人满意的回答。 所以他回到了基础.
他确定了三个独立的原因, 说明复指数函数在数字信号处理中占据主导地位。 每个原因本身都可以说明这个选择; 在一起, 使其几乎是必不可少的.
原因 1: 时间不变性
大多数信号处理系统没有自然的时间起点。 中午应用的滤波器应该与午夜应用相同的滤波器产生相同的结果。 时间不变性的约束迫使特征函数是复指数函数。
在数学术语中: 如果一个线性时间不变(LTI)系统的输入是 x(n) = e^{i2πfn}, 输出也必须以频率 f 振荡。只有复指数函数满足这个条件。
原因 2: 线性性质
线性系统遵循超positions. 线性算子的特征函数是操作者作用在它们上面时, 除了缩放外, 仍然保持不变的函数。对于移位算子 S: x(n) → x(n−1), 特征函数正是 e^{i2πfn}.
原因 3: Nyquist 采样
如果连续信号中不包含频率高于 f_max, 采样率≥2f_max 可以捕获所有信息。这个 Nyquist-Shannon 采样定理在 Fourier 表示下, 将连续与离散信号处理连接得非常整洁。
在等间距采样下,一个高频单元将折叠为一个单一较低频率。 在多项式基上,一个高次幂 t 将折叠为许多较低次幂: Fourier 函数避免了这一切。
转移函数为特征值
当 e^{i2πfn} 传入线性时间不变滤波器时, 输出等于 H(f) · e^{i2πfn} 对于某个复数 H(f)。 滤波器会缩放和平移振荡, 但无法改变其频率。
H(f) 将频率 f 的所有滤波器行为汇总为一个复数。对于具有系数 c_k 的滤波器:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
这个公式使 H(f) 成为系数序列的 傅里叶变换。每个频率通道独立操作。滤波器将输入分解为频率分量，乘以每个 H(f)，然后重新组合它们。
采样定理
汉明指出，Nyquist 采样定理在 Nyquist 之前就已经知道了，但 Nyquist 拥有了荣誉。他引用 Pasteur 的话：‘幸运青睐有准备的心灵。’将现有的想法与实际需求联系起来的人将获得名声。
定理
如果连续信号 x(t) 中不包含频率分量高于 f_max，那么以 f_s ≥ 2·f_max 的采样率采样它可以捕获所有信息。原始信号可以从采样中精确重建。
阈值 f_s / 2 = f_max 被命名为 Nyquist。理论上，采用 Nyquist 率（2·f_max）足够，但在实际操作中危险：任何轻微的不匹配都会伪装最高频率。
伪装
当信号中包含频率高于 f_s/2 时，那些频率会折叠回 [0, f_s/2] 这个带宽内。一个频率为 f = f_s/2 + δ 的正弦波在 f_s/2 − δ 的正弦波看起来无法区分。Tukey 创造了 ‘伪装’（aliasing）这个术语。
几何图像：频率 f 和 f + f_s 的复指数在整数时间处产生相同的采样值。它们共享一个伪装。
选择采样率
一个实际的数字音频系统在设计滤波器之前必须选择采样率。人类可以听到大约20 kHz。标准的CD采样率为44.1 kHz,设置了Nyquist频率为22.05 kHz。
在采样之前,必须使用一个反混叠滤波器去除所有高于Nyquist频率的频率。如果甚至一个小的25000 Hz的分量进入采样器,它将被混叠到44100 - 25000 = 19100 Hz — 可以被听到。
硬件的三个极限
Hamming教授了更广泛的教训,与数学一起。数字滤波器存在,因为硬件有极限 —— 理解这些极限,将会形塑出好的设计。
他确定了三个自然界的定律,限制了硬件性能:
1. 分子尺寸: 电路无法无限缩小。到达某个尺寸,量子效应开始主导。
2. 光速: 信号最高只能以3×10⁸ m/s传输。比光速更快的时钟周期在芯片上产生 glitch。
3. 散热: 切换会消耗功率,变成热量。密集、快的芯片在不加冷却时会过热。
他的设计哲学直接跟随: 理解极限,然后设计系统,使其在极限之内运行,并留有余地以应对变化和误差。
数字滤波器将计算从硬件(模拟电路)转移到软件(在样本上进行的算术)。这次转变将硬件的脆弱性与数值精度和可编程性相交 —— 这是取样定理的结果,而不是奇迹。
Hamming的设计哲学
汉明的框架：数字滤波器通过软件实现了模拟滤波器在硬件中实现的功能。采样定理是连接桥梁。一旦你知道桥梁是稳固的，你就可以通过指定所需的传递函数H(f)，然后找到实现它的系数序列来设计滤波器。
工程师的工作变成了指定和进行算术运算，而不是绕线感应器和焊接电容器。