un

guest
1 / ?
back to lessons

كيف تعلم هاميلتون المنظفات الرقمية

جاء هاميلتون للمنظفات الرقمية كرياضياتي وليس كمهندس كهربائي. عندما سأل المهندسين لماذا يستخدمون المدارات المعقدة بدلاً من المعادلات أو الدوال الجزيرة، لم يكن لديهم إجابة مرضية. لذلك ذهب إلى الأساسيات.

وأدرك ثلاثة أسباب مستقللة لماذا تتمتع الدوال الفورье بتقديم معالجة الإشارات الرقمية. تبرير كل منها وحدها تبرير؛ معاً يجعلهم إلزاميين تقريبًا.

السبب 1: التباين الزمني

معظم معالجة الإشارات لا تملك نشأة طبيعية للزمن. يجب أن تتصرف المصفاة التي تطبق في الظهيرة بنفس الطريقة التي تطبق فيها في منتصف الليل. يفرض هذا القيود من التباين الزمني أن الوظيفة الذاتية تكون المعاملات المعقدة.

في المصطلحات الرياضية: إذا كان النظام الخطي الزمني المتغير (LTI) لدينا مدخل x (n) = e^{i2πfn}، يجب أن تتصرف المخرجات أيضًا بترددات oscillate في f. فقط المعاملات المعقدة تفي بهذا.

السبب 2: الخطية

تتبع الأنظمة الخطية قانون الجمع. الوظيفة الذاتية ل bất لOPERATOR رياضي هي الدوال التي تظهر دون تغيير (باستثناء المقاس) عندما يؤدي الماليك علىهم. بالنسبة للوحدة المنسقة S: x (n) → x (n-1)، تكون الوظيفة الذاتية هي بالضبط e^{i2πfn}.

السبب 3: معين نيوكويست

إذا كانت الإشارة ongoing تحتوي على ترددات لا تزيد عن f_max، فالتسجيل فيها عند معدل ≥ 2f_max يحمل جميع المعلومات. يربط هذا **معين نيوكويست-شانون مع معالجة الإشارات ongoing والمتقطعة فقط تمثيلات فورье.

بفرض أن التسلسل المتسلسل متساوي المسافات، فإن الترددات العالية الواحدة تتحول إلى ترددات منخفضة واحدة. تحت دلالات البولينوم، فإن قوة واحدة من t aliases إلى العديد من القوى المنخفضة: فوضى تفاديها فورье تماما.

وظيفة التحويل كقيمة الوظيفة الذاتية

عندما يدخل e^{i2πfn} في المصفاة الخطية الزمنية المتغيرة، فإن المخرجات تساوي H (f) · e^{i2πfn} لبعض العدد معقد H (f). لا يمكن للمصفاة تغيير تردد الموجة، بل يمكنها فقط تكبيرها وتحويلها.

H(f) تجمع جميع سلوك المصفوفة عند التردد f في عدد комплексي واحد. بالنسبة للمصفوفة التي لديها معاملات c_k:

H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}

هذه الصيغة تجعل H(f) تحول فوريير لخطة المعاملات. كل قناة ترددية تعمل بشكل مستقل. المصفوفة تفرق المدخلات إلى مكونات التردد، وتضاعف كل منها بواسطة H(f)، ثم ترتبط مجدداً.

مصفوفة رقمية: الدالة المثلثة والوظيفة الانتقالية

قال هاميلتون أن وظيفة التحويل هي قيمة الوظيفة الذاتية للمدخل المعادل، وأن لا أحد من المهندسين الذين سألهم لم يفرضها على هذا النحو. توضح في كلماتها الخاصة: ماذا يعني أن e^{i2πfn} هو وظيفة ذاتية لنصف خطي، زمني متغير؟ ما هي القيمة الذاتية، وماذا تعلمك هذا حول سلوك المصفاة عند تلك الترددات؟

مقالة العرض النيقويست

أشار هامنج إلى أن معامل نموذج العرض النيقويست كان معروفاً قبل نيقويست، لكن نيقويست هو الذي حصل على الشهرة. وذكر Pasteur: 'الحظ يفضل العقل المستعد'. الشخص الذي يربط فكرة موجودة بمتطلب عملية يكتسب الشهرة.

المقالة

إذا كان إشارة ongoing x(t) لا تحتوي على مكونات ترددية فوق f_max، فإن العرض لها عند معدل f_s ≥ 2·f_max يحمل جميع المعلومات. الإشارة الأصلية تستعيد بشكل دقيق من العينات.

الحد الأقصى f_s / 2 = f_max يحمل اسم نيقويست. العرض عند معدل نيقويست (2·f_max) كافٍ في النظرية ولكن خطير في الممارسة: أي اختلاف بسيط يؤدي إلى التبديل للمتردد الأقصى.

التبديل

عندما تحتوي الإشارة على ترددات فوق f_s/2، فإن تلك الترددات تتداخل في الفضاء [0, f_s/2]. تردد صيغي عند f = f_s/2 + δ يظهر مماثلاً لتردد صيغي عند f_s/2 − δ. اقترع تاكي كلمة تبديل لوصف هذا التمثيل.

الصورة الهندسية: المعاملات الترددية عند الترددات f & f + f_s تنتج عينات متطابقة في الأوقات الصحيحة. لديهم علامة تبديل.

التردد كزاوية: دائرة الوحدة والتبديل

اختيار معدل العينة

يجب أن يختار نظام رقمي صوتي عملياً معدله قبل تصميم المصفوف. تسمع البشر حتى حوالي 20 كيلوهرتز. يحدد معدل العينة القياسي لصندوق الأقراص 44.1 كيلوهرتز التردد النقيست عند 22.05 كيلوهرتز.

يجب أن يزيل المصفوف المعاكس قبل العينة كل الترددات فوق التردد النقيست. إذا دخل حتى تردد صغير 25 كيلوهرتز، يظهر كـ 44100 - 25000 = 19.1 كيلوهرتز صوتي.

تستعمر مقياس الحركة الأرضية 200 هرتز. ما هو التردد النقيست؟ إذا انتجت حدث جيولوجي طاقة عند 130 هرتز، ما التردد الذي سيظهر به ذلك الطاقة في الإشارة المأخودة؟ توضح السبب المشكلة من هذا المشكلة في تفسير البيانات.

ثلاث حدود للوظائف

أعلم حمينغ درس أوسع إلى جانب الرياضيات. يوجد المصفوف الرقمية لأن هناك حدودًا للوظائف - وفهم تلك الحدود يshape التصميم الجيد.

هو تحديد ثلاث قوانين من الطبيعة التي تحد الأداء الفني:

1. حجم الجزيئات: لا يمكن تقليص الدوائر بشكل غير محدود. عندما تصبح الدوائر أصغر من مقياس معين، يتحكم فيها التأثيرات الكمية.

2. سرعة الضوء: لا يمكن أن تتنقل الإشارات بسرعة أكثر من 3×10⁸ م/ث. ينتج الحقن السريعة من الدورات الزمنية فوق وقت انتقال الإشارة عبر الدائرة التشوهات.

3. تبريد الحرارة: يتسبب التحويل في استهلاك الطاقة التي تصبح حرارة. إذا كان الدوائر الكثيفة وسريعة، يشتعل unless يبرد.

تبع فلسفته التصميم مباشرة: فهم الحدود، ثم تصميم أنظمة تعمل بشكل مريح ضمنها، مع مساحة للتبديل والخطأ.

يؤدي المصفوف الرقمية نقل الحساب من hardware (دوائر رقمية) إلى software (الحسابات على العينات). هذا التحول يبدي hardware brittleness for numerical precision & programmability - نتيجة من مسألة العينات، وليس معجزة.

فلسفة تصميم حمينغ

تفسير هامينغ: ماص للطائرات يقوم بتنفيذ ما يقوم به ماص الأحادية في hardware. المثمن المطابقة هو الجسر. بمجرد معرفة أن الجسر صلب، يمكنك تصميم المصفوفات من خلال تحديد الدالة الانتقالية المرادة H(f)، ثم إيجاد سلسلة المعامل التي تتحقق من ذلك.

يصبح عمل المهندس تحديد المعايير والرياضيات، وليس تثبيت الملفات المغناطيسية ومصاوير المكثفات.

اكتشف هامينغ ثلاث قوانين فيزيائية تحد من أداء الحardware. اسمها. ثم توضيحاً بالتفاصيل، كيف يضغط كل منها المهندسين نحو الحلول الرقمية (برمجية) بدلاً من الحلول الأحادية (ميكانيكية) عندما يزداد الحاجة الدقة والبرمجة.