Як Хеммінг вивчав цифрові фільтри
Хеммінг прийшов до цифрових фільтрів як математик, а не як інженер-електротехнік. Коли він запитав інженерів, чому вони використовують синусоїди замість многочленів або функцій Бесселя, ніхто не дав задовільної відповіді. Тому він повернувся до основ.
Він визначив три незалежних причини, чому комплексні експоненціали домінують у цифровій обробці сигналів. Кожна причина окремо виправдовує вибір; разом вони роблять його майже обов'язковим.
Причина 1: Інваріантність часу
Більшість систем обробки сигналів не мають природного походження часу. Фільтр, застосований опівдні, повинен поводитися ідентично тому ж фільтру, застосованому опівночі. Це обмеження інваріантності часу змушує власні функції бути комплексними експоненціалами.
У математичних термінах: якщо лінійна, інваріантна до часу (LTI) система має вхід x(n) = e^{i2πfn}, вихід також повинен коливатися на частоті f. Тільки комплексні експоненціали задовольняють це умову.
Причина 2: Лінійність
Лінійні системи дотримуються принципу суперпозиції. Власні функції будь-якого лінійного оператора — це функції, які залишаються незмінними (крім масштабування), коли оператор діє на них. Для оператора зсуву S: x(n) → x(n−1), власними функціями є саме e^{i2πfn}.
Причина 3: Дискретизація Найквіста
Якщо неперервний сигнал не містить частотних компонент вище f_max, то дискретизація його з частотою ≥ 2f_max захоплює всю інформацію. Теорема дискретизації Найквіста-Шеннона чисто пов'язує неперервну й дискретну обробку сигналів тільки для представлень Фур'є.
При рівномірній дискретизації одна висока частота накладається на одну нижчу частоту: це чистий результат. Представлення Фур'є повністю уникає цього беспорядку.
Передавальна функція як власне значення
Коли e^{i2πfn} входить у лінійний, інваріантний до часу фільтр, вихід дорівнює H(f) · e^{i2πfn} для деякого комплексного числа H(f). Фільтр масштабує й зсуває коливання, але не може змінити його частоту.
H(f) збирає всю поведінку фільтра на частоті f в одне комплексне число. Для фільтра з коефіцієнтами c_k:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
Ця формула робить H(f) перетворенням Фур'є послідовності коефіцієнтів. Кожен частотний канал працює незалежно. Фільтр розкладає вхід на частотні компоненти, множить кожну на H(f), & переасемблює їх.
Теорема дискретизації
Хеммінг відзначив, що теорема дискретизації була відома до Найквіста, але Найквіст отримує заслугу. Він цитував Пастера: 'Удача сприяє підготованому розуму.' Людина, яка пов'язує існуючу ідею з практичною потребою, здобуває славу.
Теорема
Якщо неперервний сигнал x(t) не містить частотних компонент вище f_max, то дискретизація його з частотою f_s ≥ 2·f_max захоплює всю інформацію. Первинний сигнал точно реконструюється зі зразків.
Поріг f_s / 2 = f_max носить ім'я Найквіста. Дискретизація точно з частотою Найквіста (2·f_max) в принципі достатня, але небезпечна на практиці: будь-яке невелике невідповідність накладає частоту найвищу на частоту найнижчу.
Накладення псевдонімів
Коли сигнал містить частоти вище f_s/2, ці частоти складаються назад у смугу [0, f_s/2]. Синусоїда на f = f_s/2 + δ видається невідрізною від однієї на f_s/2 − δ. Тьюкі придумав термін накладення псевдонімів для назви цієї видимості.
Геометрична картина: комплексні експоненціали на частотах f & f + f_s дають однакові зразки в цілих часах. Вони спільно мають один псевдонім.
Вибір частоти дискретизації
Практична система цифрового аудіо повинна вибрати частоту дискретизації перед проектуванням фільтрів. Люди чують до приблизно 20 кГц. Стандартна частота дискретизації CD 44,1 кГц встановлює частоту Найквіста на 22,05 кГц.
Перед дискретизацією антиалізинговий фільтр повинен видалити всі частоти вище частоти Найквіста. Якщо навіть невелика компонента 25 кГц потрапить у дискретизатор, вона накладається на 44100 − 25000 = 19,1 кГц — чутна.
Три межі апаратного забезпечення
Хеммінг викладав глибший урок поряд з математикою. Цифрові фільтри існують, оскільки апаратне забезпечення має межі — розуміння цих меж формує добре проектування.
Він визначив три закони природи, що обмежують продуктивність апаратного забезпечення:
1. Розмір молекули: схеми не можуть скорочуватися нескінченно. Нижче певного масштабу, квантові ефекти домінують.
2. Швидкість світла: сигнали подорожують максимум на 3×10⁸ м/с. Цикли годинника швидші, ніж час транзиту світла через мікросхему, дають сбої.
3. Розсіювання тепла: комутація споживає потужність, яка стає теплом. Щільні, швидкі мікросхеми перегріваються, якщо їх не охолоджувати.
Його філософія проектування безпосередньо слідувала: розуміти межі, потім проектувати системи, які працюють комфортно в них, з простором для варіації & помилки.
Цифрові фільтри переводять обчислення з апаратного забезпечення (аналогові схеми) на програмне забезпечення (арифметика над зразками). Цей зсув обмінює крихкість апаратного забезпечення на числову точність & програмованість — наслідок теореми дискретизації, а не чуда.
Філософія проектування Хеммінга
Формулювання Хеммінга: цифровий фільтр реалізує у програмному забезпеченні те, що робить аналоговий фільтр в апаратному забезпеченні. Теорема дискретизації — міст. Як тільки ви знаєте, що міст триматься, ви можете проектувати фільтри, вказуючи бажану передавальну функцію H(f), потім знаходячи послідовність коефіцієнтів, яка її реалізує.
Робота інженера стає специфікацією & арифметикою, не намотуванням індукторів & припаюванням конденсаторів.