Hamming học tập các bộ lọc số như thế nào
Hamming đến với bộ lọc số như một nhà toán học, không phải một kỹ sư điện. Khi anh ta hỏi các kỹ sư tại sao họ sử dụng sinusoids thay vì đa thức hoặc các hàm Bessel, không ai đưa ra một câu trả lời thỏa đáng. Vì vậy anh ta quay lại những điều cơ bản.
Anh ta xác định ba lý do độc lập tại sao các hàm mũ phức chi phối xử lý tín hiệu số. Mỗi lý do riêng lẻ biện minh cho lựa chọn; với nhau chúng làm cho nó hầu như bắt buộc.
Lý do 1: Bất biến theo thời gian
Hầu hết các hệ thống xử lý tín hiệu không mang theo một gốc thời gian tự nhiên. Một bộ lọc được áp dụng vào lúc trưa phải hoạt động giống hệt như cùng một bộ lọc được áp dụng vào nửa đêm. Ràng buộc này của bất biến theo thời gian buộc các hàm riêng phải là các hàm mũ phức.
Theo thuật ngữ toán học: nếu một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) có đầu vào x(n) = e^{i2πfn}, đầu ra cũng phải dao động ở tần số f. Chỉ các hàm mũ phức thỏa mãn điều này.
Lý do 2: Tuyến tính
Các hệ thống tuyến tính tuân theo nguyên lý chồng chất. Các hàm riêng của bất kỳ toán tử tuyến tính nào là các hàm xuất hiện không thay đổi (ngoại trừ việc co giãn) khi toán tử tác dụng lên chúng. Đối với toán tử dịch chuyển S: x(n) → x(n−1), các hàm riêng chính xác là e^{i2πfn}.
Lý do 3: Lấy mẫu Nyquist
Nếu một tín hiệu liên tục không chứa các thành phần tần số trên f_max, lấy mẫu nó ở tốc độ ≥ 2f_max sẽ nắm bắt tất cả thông tin. Định lý lấy mẫu Nyquist-Shannon này kết nối xử lý tín hiệu liên tục & rời rạc một cách sạch sẽ chỉ cho các biểu diễn Fourier.
Dưới lấy mẫu cách đều, một tần số cao duy nhất bị alias thành một tần số thấp hơn duy nhất. Dưới các cơ sở đa thức, một lũy thừa cao duy nhất của t bị alias thành nhiều lũy thừa thấp hơn: một mớ Fourier tránh được hoàn toàn.
Hàm truyền như giá trị riêng
Khi e^{i2πfn} nhập vào một bộ lọc tuyến tính bất biến theo thời gian, đầu ra bằng H(f) · e^{i2πfn} cho một số phức H(f) nào đó. Bộ lọc co giãn & thay đổi pha của dao động nhưng không thể thay đổi tần số của nó.
H(f) thu tập tất cả hành vi của bộ lọc ở tần số f vào một số phức duy nhất. Đối với một bộ lọc có hệ số c_k:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
Công thức này làm cho H(f) trở thành biến đổi Fourier của chuỗi hệ số. Mỗi kênh tần số hoạt động độc lập. Bộ lọc phân tách đầu vào thành các thành phần tần số, nhân mỗi thành phần với H(f), & lắp ráp chúng lại.
Định lý lấy mẫu
Hamming nhận xét rằng định lý lấy mẫu Nyquist được biết đến trước Nyquist, nhưng Nyquist được ghi công. Anh ta trích dẫn Pasteur: 'May mắn thiên vị tâm trí được chuẩn bị.' Người kết nối một ý tưởng hiện có với nhu cầu thực tế kiếm được danh tiếng.
Định lý
Nếu một tín hiệu liên tục x(t) không chứa các thành phần tần số trên f_max, thì lấy mẫu nó ở tốc độ f_s ≥ 2·f_max sẽ nắm bắt tất cả thông tin. Tín hiệu gốc được tái tạo chính xác từ các mẫu.
Ngưỡng f_s / 2 = f_max mang tên Nyquist. Lấy mẫu ở đúng tốc độ Nyquist (2·f_max) là đủ về nguyên tắc nhưng nguy hiểm trong thực hành: bất kỳ sự không khớp nào sẽ khiến tần số cao nhất bị alias.
Aliasing
Khi một tín hiệu chứa các tần số trên f_s/2, những tần số đó gập lại vào dải [0, f_s/2]. Một sinusoid ở f = f_s/2 + δ trông không thể phân biệt được từ một sinusoid ở f_s/2 − δ. Tukey đã đặt tên cho thuật ngữ aliasing để gọi tên sự mạo danh này.
Hình ảnh hình học: các hàm mũ phức ở các tần số f & f + f_s tạo ra các mẫu giống hệt nhau ở các thời điểm nguyên. Chúng chia sẻ một alias.
Chọn tốc độ lấy mẫu
Một hệ thống âm thanh số thực tế phải chọn tốc độ lấy mẫu của nó trước khi thiết kế các bộ lọc. Con người nghe được lên tới khoảng 20 kHz. Tốc độ lấy mẫu CD tiêu chuẩn là 44,1 kHz đặt tần số Nyquist ở 22,05 kHz.
Trước khi lấy mẫu, một bộ lọc chống aliasing phải loại bỏ tất cả các tần số trên tần số Nyquist. Nếu thậm chí một thành phần 25 kHz nhỏ vào bộ lấy mẫu, nó sẽ bị alias thành 44100 − 25000 = 19,1 kHz — có thể nghe được.
Ba giới hạn của phần cứng
Hamming dạy một bài học rộng hơn cùng với toán học. Các bộ lọc số tồn tại vì phần cứng có giới hạn — & hiểu những giới hạn đó hình thành thiết kế tốt.
Anh ta xác định ba định luật tự nhiên ràng buộc hiệu suất phần cứng:
1. Kích thước phân tử: các mạch không thể co lại vô hạn. Dưới một quy mô nhất định, các hiệu ứng lượng tử chi phối.
2. Tốc độ ánh sáng: các tín hiệu đi tối đa 3×10⁸ m/s. Chu kỳ xung nhịp nhanh hơn thời gian truyền ánh sáng trên chip tạo ra các sự cố.
3. Tản nhiệt: chuyển mạch tiêu thụ năng lượng, điều này trở thành nhiệt. Các chip dày đặc, nhanh chóng quá nóng nếu không được làm mát.
Triết lý thiết kế của anh ta tuân theo trực tiếp: hiểu các giới hạn, sau đó thiết kế các hệ thống hoạt động thoải mái trong các giới hạn đó, với khoảng trống cho sự thay đổi & lỗi.
Các bộ lọc số di chuyển tính toán từ phần cứng (mạch tương tự) đến phần mềm (số học trên các mẫu). Sự dịch chuyển này trao đổi tính mong manh của phần cứng cho độ chính xác số & khả năng lập trình — một hệ quả của định lý lấy mẫu, không phải một phép lạ.
Triết lý thiết kế của Hamming
Khung của Hamming: một bộ lọc số thực hiện trong phần mềm những gì một bộ lọc tương tự làm trong phần cứng. Định lý lấy mẫu là cây cầu. Khi bạn biết cây cầu giữ nguyên, bạn có thể thiết kế các bộ lọc bằng cách chỉ định hàm truyền mong muốn H(f), sau đó tìm chuỗi hệ số nhận ra nó.
Công việc của kỹ sư trở thành thông số kỹ thuật & số học, không quấn cuộn điện cảm & hàn các tụ điện.