როგორ ისწავლა ჰამინგმა ციფრული ფილტრები
ჰამინგი ციფრული ფილტრებამდე მივიდა მათემატიკოსად, არა ელექტროინჟინრად. როდესაც მან ინჟინრებს ჰკითხა, რატომ იყენებდნენ ისინი სინუსოიდებს პოლინომების ან ბესელის ფუნქციების ნაცვლად, არავის მისცა დამაკმაყოფილებელი პასუხი. ასე რომ იგი დაუბრუნდა საფუძვლებს.
მან დაადგინა სამი დამოუკიდებელი მიზეზი, რატომ დომინირებს კომპლექსური ექსპონენციალები ციფრული სიგნალის დამუშავებაში. თითოეული მიზეზი ცალკე აღარ იმართლებს არჩევანს; ერთად ისინი თითქმის აკრძალული გახდის.
მიზეზი 1: დროის მიმართ უცვლელობა
სიგნალის დამუშავების უმეტესობა დროის ბუნებრივ წაკითხვას არ ატარებს. ფილტრი, რომელიც შუადღეს გამოიყენება, იდენტურად უნდა იმოქმედოს, რომელიც შუაღამეს გამოიყენება. დროის მიმართ უცვლელობის ეს შეზღუდვა აიძულებს საკუთარი ფუნქციებს კომპლექსური ექსპონენციალები იყოს.
მათემატიკური თვალსაზრისით: თუ წრფივი, დროის მიმართ უცვლელი (LTI) სისტემას აქვს შეყვანა x(n) = e^{i2πfn}, გამოშვება ასევე უნდა რხოვდეს f სიხშირეზე. მხოლოდ კომპლექსური ექსპონენციალები აკმაყოფილებენ ამას.
მიზეზი 2: ხაზოვანობა
ხაზოვანი სისტემები დაემორჩილება სუპერპოზიციას. ნებისმიერი წრფივი ოპერატორის საკუთარი ფუნქციები არიან ფუნქციები, რომლებიც უცვლელი რჩებიან (გარდა მასშტაბირებისა) როდესაც ოპერატორი მათზე მოქმედებს. ცვლის ოპერატორისთვის S: x(n) → x(n−1), საკუთარი ფუნქციები ზუსტად e^{i2πfn} არიან.
მიზეზი 3: ნიკვისტის სინიმუშო
თუ უწყვეტი სიგნალი f_max-ზე მეტ სიხშირეს არ შეიცავს, მის სინიმუშოვნა f_s ≥ 2f_max სიხშირით ხვდება ყველა ინფორმაციას. ორიგინალური სიგნალი ზუსტად აღდგება ნიმუშებიდან. ეს ნიკვისტ-შენონის სინიმუშო თეორემა깔끔하게კი აკავშირებს უწყვეტ & დისკრეტულ სიგნალის დამუშავებას ფურიეს წარმოდგენებისთვის.
თანაბარი სიგრძის სინიმუშოს ქვეშ, ერთი მაღალი სიხშირე ერთ უფრო დაბალ სიხშირეზე ზღვრის. პოლინომიური ბაზის ქვეშ, t-ის ერთი მაღალი ხარისხი ბევრ უფრო დაბალ ხარისხზე ზღვრის: ქაოტიკა, რომელსაც ფურიე თავს ხსნის.
გადაცემის ფუნქცია როგორც საკუთარი მნიშვნელობა
როდესაც e^{i2πfn} შედის წრფივი, დროის მიმართ უცვლელი ფილტრში, გამოშვება H(f) · e^{i2πfn} ტოლია ზოგიერთი კომპლექსური რიცხვი H(f)-ისთვის. ფილტრი ამოკვეთს & ცვლის რხევას, მაგრამ მის სიხშირე არ შეუძლია შეცვალოს.
H(f) აკლებს ფილტრის მთელ ქცევას სიხშირეზე f ერთ კომპლექსურ რიცხვში. c_k კოეფიციენტებთან ფილტრისთვის:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
ეს ფორმულა H(f)-ს აკეთებს კოეფიციენტის მიმდევრობის ფურიეს ტრანსფორმაცია. ყველა სიხშირის ჩانალი ოპერირებს დამოუკიდებლად. ფილტრი აღლუმებს შეყვანას სიხშირის კომპონენტებად, თითოეულს ამრავლებს H(f)-ით, & ისევ ერთეულებას.
სინიმუშო თეორემა
ჰამინგმა აღნიშნა, რომ ნიკვისტის სინიმუშო თეორემა ცნობილი იყო ნიკვისტამდე, მაგრამ ნიკვისტი იღებს საკრედიტო. ის ციტირებდა პასტერს: 'იღბალი სპობს მოძღვარ აზროვნებას.' პიროვნება, რომელიც აკავშირებს არსებულ იდეას პრაქტიკული საჭიროების, იმსახურებს პოპულარობას.
თეორემა
თუ უწყვეტი სიგნალი x(t) არ შეიცავს სიხშირის კომპონენტებს f_max-ზე მეტს, მაშინ მის სინიმუშოვნა f_s ≥ 2·f_max სიხშირით ხვდება ყველა ინფორმაციას. ორიგინალური სიგნალი ზუსტად აღდგება ნიმუშებიდან.
ბარი f_s / 2 = f_max ატარებს ნიკვისტის სახელს. სინიმუშოვნა ზუსტად ნიკვისტის სიხშირეზე (2·f_max) საკმარისია პრინციპში, მაგრამ საშიში პრაქტიკაში: მცირე შეუთავსებლობაც კი ზღვრის უმაღლეს სიხშირეს.
ალიასი
როდესაც სიგნალი შეიცავს სიხშირეებს f_s/2-ზე მეტს, ეს სიხშირეები დაკეცილი ბენდი [0, f_s/2]. სინუსოიდი f = f_s/2 + δ-ზე განუხილავი ერთნაირი ნიმუშებიდან f_s/2 − δ-ზე. tukey-მ გამოიმუშავა ტერმინი ალიასი ამ მოტყუების დასახელებისთვის.
გეომეტრიული ფიქრი: კომპლექსური ექსპონენციალები f სიხშირეზე & f + f_s აწარმოებენ იდენტურ ნიმუშებს მთელი დროის წერტილებში. ისინი გაზიარებენ ალიასს.
სინიმუშო სიხშირის არჩევა
პრაქტიკული ციფრული აუდიო სისტემა უნდა აირჩიოს მისი სინიმუშო სიხშირე ფილტრების დიზაინის წინ. ადამიანები სმენენ დაახლოებით 20 კჰც-მდე. CD-ის სტანდარტული სინიმუშო სიხშირე 44.1 კჰც-ი აყენებს ნიკვისტის სიხშირეს 22.05 კჰც-ზე.
სინიმუშოვნამდე, ალიას-ზღვრული ფილტრი უნდა შლიდეს ყველა სიხშირე ნიკვისტის სიხშირის ზემოთ. თუნდაც მცირე 25 კჰც კომპონენტი შედის სინიმუშოზე, ისინი ზღვრის 44100 − 25000 = 19.1 კჰც — გასაკრთალი.
აპარატურის სამი ზღვრი
ჰამინგი ასწავლებდა უფრო ფართო გაკვეთილს მათემატიკასთან ერთად. მან დაადგინა სამი ბუნებრივი ღანძი, რომელიც აკავშირებდა აპარატურის მუშაობას:
1. მოლეკულური ზომა: სქემები არ შეიძლება უსასრულოდ შემცირდეს. გარკვეული მასშტაბის ქვეშ, კვანტური ეფექტები დომინირებს.
2. სინათლის სიჩქარე: სიგნალები მოძრაობენ ყველაზე 3×10⁸ მ/წ-ით. საათის ციკლები ელემენტების გადმოსვლის დროზე უფრო სწრაფი შიპზე აწარმოებს ხარვეზებს.
3. სითბოს დისიპაცია: ჩამრთველი იყენებს ელექტროენერგია, რომელიც ხდება სითბო. მკრთალი, სწრაფი ფიქალი ჩაკეტილი, თუ არ გაცივდება.
მისი დიზაინის ფილოსოფია პირდაპირ მოწვეულ იყო: გაიგე ზღვრები, შემდეგ ჩამოყალიბი სისტემები, რომელიც ოპერირებს კომფორტი ზღვრებში, მართებიანი ვარიაციისა & შეცდომისთვის.
ციფრული ფილტრები გადაზიდავენ გამოთვლას აპარატურადან (ანალოგური სქემა) პროგრამული უზრუნველყოფამდე (არითმეტიკა ნიმუშებზე). ეს ცვლა უცვლელია აპარატურის სიმის სიზუსტეზე & პროგრამირებადობაზე — სინიმუშო თეორემის შედეგი, არა სასწაული.
ჰამინგის დიზაინის ფილოსოფია
ჰამინგის ჩარჩო: ციფრული ფილტრი უხორბლად აკეთებს, რა აკეთებს ანალოგური ფილტრი აპარატურაში. სინიმუშო თეორემა არის ხიდი. ერთხელ კი იცოდი ხიდი ხელმძღვანელი, შეიძლება დიზაინი ფილტრები ნაჩვენები სასურველი გადაცემის ფუნქცია H(f), შემდეგ მოძებნა კოეფიციენტის მიმდევრობა, რომელიც მას აკეთებს.
ინჟინრის დავალება ხდება სპეციფიკაცია & არითმეტიკა, რა არა ინდუქტორის დახვევა & კონდენსატორის შედუღება.