Jak Hamming Nauczył Się Filtrów Cyfrowych
Hamming przyszedł do cyfrowych filtrów jako matematyk, a nie inżynier elektroniczny. Gdy zapytał inżynierów, dlaczego używają sinusoid zamiast wyrazów lub funkcji Bessel'a, nikt nie dał zadowalającej odpowiedzi. Więc wrócił do podstaw.
Zidentyfikował trzy niezależne powody, dla których zespolone wykładniki dominują w przetwarzaniu sygnałów cyfrowych. Każdy powód sam w sobie usprawiedliwia wybór; razem czynią to niemal obowiązkowe.
Powód 1: Czasowa Niezależność
Większość systemów przetwarzania sygnałów nie posiada naturalnej początki czasu. Filtr zastosowany o południa powinien zachowywać się identycznie jak ten sam filtr zastosowany o północ. Ten ograniczenia czasowej niezależności zmusza własne funkcje do być zespolonymi wykładnikami.
W sformułowaniu matematycznym: jeśli liniowy, czasowo-niezależny (LTI) system ma wejście x(n) = e^{i2πfn}, wyjście również musi oscylować o częstotliwości f. Tylko zespolone wykładniki spełniają to.
Powód 2: Liniośćć
Liniowe systemy przestrzegają sumy części. Własne funkcje dowolnego operatora liniowego to funkcje, które wyjściowo nie zmieniają się (z wyjątkiem skalowania), gdy operator działa na nich. Dla operatora przesunięcia S: x(n) → x(n−1), własne funkcje są dokładnie e^{i2πfn}.
Powód 3: Twierdzenie Nyquista
Jeśli ciągły sygnał nie zawiera częstotliwości wyższych niż f_max, próbowanie go za pomocą częstotliwości ≥ 2f_max utrzymuje wszystkie informacje. To twierdzenie Nyquista-Shannona o próbowaniu łączy czysto ciągłe & dyskretnego przetwarzania sygnałów wyłącznie dla reprezentacji Fouriera.
Pod równomiernym próbowaniem, pojedyncza wysoka częstotliwość zakłóca pojedynczą niższą częstotliwość. Pod bazami wielomianowymi, pojedyncza wysoka potęga t zakłóca wiele niższych potęg: bałagan, który Fouriera unika całkowicie.
Funkcja Przejśćcia Jako Wartość Własna
Gdy e^{i2πfn} wpada do liniowego, czasowo-niezależnego filtru, wyjście wynosi H(f) · e^{i2πfn} dla pewnej liczby zespolonej H(f). Filtr skaluje & przesuwa oscylację, ale nie może zmienić jej częstotliwości.
H(f) zbiera wszystkie zachowanie filtru w częstotliwości f w pojedynczą liczbę zespoloną. Dla filtru z współczynnikami c_k:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
Ten wzór sprawia, że H(f) to Fourierowska transformata sekwencji współczynników. Każdy kanał częstotliwości działa niezależnie. Filtr rozkłada wejście na składowe częstotliwości, mnoży każde z nich przez H(f) i z nich zbudowuje je z powrotem.
Teoria próbkowania
Hamming zauważył, że teoria próbkowania Nyquista była znana przed Nyquistem, ale Nyquist dostał się do historii. Cytuje Pasteura: 'Sukces ulubia przygotowane umysły'. Osoba, która połączy istniejącą ideę z praktycznym potrzebem, zdobywa sławę.
Teoria
Jeśli sygnał ciągły x(t) nie zawiera składowych częstotliwościowych wyższych niż f_max, to próbkowanie tego sygnału z częstotliwością próbkowania f_s ≥ 2·f_max pochłania wszystkie informacje. Oryginalny sygnał można odtworzyć dokładnie na podstawie próbek.
Próg f_s / 2 = f_max nosi nazwisko Nyquista. Próbkowanie dokładnie w częstotliwości Nyquista (2·f_max) jest wystarczające w zasadzie, ale niebezpieczne w praktyce: każde niezgodne zalecenie powoduje aliasing najwyższej częstotliwości.
Aliasing
Gdy sygnał zawiera częstotliwości wyższe niż f_s/2, te częstotliwości składają się z powrotem w pasmo [0, f_s/2]. Sinusoida o częstotliwości f = f_s/2 + δ wygląda nieodróżnialnie od jednej o częstotliwości f_s/2 − δ. Tukey wymyślił słowo aliasing na określenie tej maskarady.
Obraz geometryczny: zespolone wyrazy częstotliwości f & f + f_s mają takie same próbki w całych czasach. Dzielą się aliasem.
Wybór stawki próbkowania
Praktyczny cyfrowy system dźwiękowy musi wybrać częstotliwość próbkowania przed projektowaniem filtrów. Ludzkie ucho słyszy do około 20 kHz. Standardowa częstotliwość próbkowania CD 44,1 kHz ustala częstotliwość Nyquista na 22,05 kHz.
Przed próbkowaniem musi zostać usunięty filtr anty-aliaski, który usuwa wszystkie częstotliwości powyżej częstotliwości Nyquista. Jeśli nawet mały 25 kHz komponent wpadnie do próbkownika, aliaskuje się do 44100 − 25000 = 19,1 kHz - słyszalne.
Trzy Ograniczenia Sprzętu
Hamming nauczyl szerszą lekcję obok matematyki. Filtry cyfrowe istnieją, ponieważ sprzęt ma ograniczenia - i zrozumienie tych ograniczeń kształtuje dobrą projektowanie.
Zidentyfikował trzy prawa natury, które ograniczają wydajność sprzętu:
1. Rozmiar cząsteczek: obwody nie mogą się zredukować nieskończenie. Poniżej pewnej skali dominują efekty kwantowe.
2. Szybkość światła: sygnały poruszają się nie więcej niż 3×10⁸ m/s. Cykle zegara szybsze niż czas przelotu sygnału po płytce powodują zakłócenia.
3. Rozpraszanie ciepła: przełączanie konsumuje energię, która staje się ciepłem. Gęste, szybkie płyty przegrzewają się, jeśli nie są ochładzane.
Jego filozofia projektowania wynikała bezpośrednio: zrozumijcie ograniczenia, a następnie zaprojektujcie systemy, które działają wygodnie w nich, z przestrzenią na zmienność i błędy.
Filtry cyfrowe przesuwają obliczenia z hardware (obwody analogowe) do oprogramowania (arytmetyka na próbkach). Ten przesunięcie wymienia kruchy sprzęt na precyzję liczbową i programowalność - skutek teoremy próbkowania, a nie cud.
Filozofia Projektowania Hamminga
Ujęcie Hamminga: filtr cyfrowy realizuje w oprogramowaniu to, co filtr analogowy robi w sprzęcie. Teoria próbkowania to most. Gdy zrozumiesz, że most przetrwa, możesz projektować filtry określając funkcję przejścia H(f), a następnie znajdować sekwencję współczynników, która ją zrealizuje.
Zawód inżyniera staje się specyfikacja i arytmetyka, a nie zwijanie induktorów i świadczenie kondensatorów.