Hamming Dijital Filtreleri Nasıl Öğrendi
Hamming, bir matematikçi olarak dijital filtreler dünyasına adım attı, bir elektrik mühendisi değildi. Mühendislerin neden sinusoidler yerine polinomlar veya Bessel fonksiyonları kullandıklarını sorduğunda, hiçbiri memnuniyet verici bir yanıt veremedi. Bu yüzden temellere geri döndü.
Karmaşık eksponansiyellerin dijital sinyal işlemenin hakim olduğu üç bağımsız neden belirledi. Her neden ayrı ayrı seçim için geçerli; birlikte neredeyse zorunlu hale getiriyor.
Neden 1: Zaman İnvaryansı
Sinyal işleme sistemlerinin çoğu doğal zaman kökeni taşımaz. Bir filtrenin öğleden sonra uygulanması, gece yarısı aynı filtrenin uygulanması ile aynı şekilde davranmalıdır. Zaman invariansı kısıtlaması karmaşık eksponansiyellerin eigenfonksiyonları olmasını gerektirir.
Matematiksel terimle: bir lineer, zaman-üzeri-invariant (LTI) sistemin girişi x(n) = e^{i2πfn} ise, çıkış da frekansı f olan bir dalganın olmasını sağlamalıdır. Sadece karmaşık eksponansiyeller bu koşulu karşılar.
Neden 2: Lineerlik
Lineer sistemler süperpozisyon yasasına uyar. Herhangi bir lineer operatörün eigenfonksiyonları, operatörün onlara uygulanması durumunda sadece ölçeklenmeye ve değiştirilmeden çıkacak fonksiyonlardır. Şifreleyici operatör S için: x(n) → x(n−1), eigenfonksiyonlar tam olarak e^{i2πfn} dir.
Neden 3: Nyquist Örnekleme
Bir sürekli sinyifin frekanslarının f_max üzerinde herhangi birini içeriyorsa, bu frekansları f_max/2'den daha yüksek bir hıza örneklemeyi yakalamak tüm bilgiyi sağlar. Nyquist-Shannon örnekleme teoremi sadece Fourier temsil şekliyle sürekli ve kesikli sinyal işlemenin temiz bir şekilde bağlantılıdır.
Eşit aralıklı örneklemde, yüksek bir frekans tek bir daha düşük frekansa sahte hale gelir. Polinom bazlarında, t'nin yüksek kareleri tek bir daha düşük karelere sahte hale gelir: Fourier tamamen kaçınılan bir durumdur.
Transfer Fonksiyonu Eigendeger
Bir lineer, zaman-üzeri-invariant filtrene giren e^{i2πfn}, çıkışta H(f) · e^{i2πfn} için bazı karmaşık sayının ürünü olarak çıkar. Filtre, titreşimi ölçeklendirir ve değiştirir, ancak frekansını değiştiremez.
H(f) frekans f için filtre davranışını bir kompleks sayıya indirir. Filtre katsayıları c_k ile:
H(f) = Σ c_k · e^{−i2πfk}
Bu formula, H(f) nın katsayı diziğinin Fourier dönüşü olduğunu yapar. Her frekans kanalı bağımsız çalışır. Filtre, girişi frekans bileşenlerine ayırır, her birini H(f) ile çarpar ve sonra bunları birleştirir.
Numaratik Örneklem Teorisi
Hamming, Nyquist'in öncesinde bilinen Nyquist örnekleme teorisi olduğunu belirtti, ama Nyquist'e kredi verildi. O, Pasteur'un sözünü aktardı: 'Şans, hazırlıksız hazırlananı tercih eder.' Bir fikirle pratik bir ihtiyaç arasında bağ kurabilen kişi ünlüğe yükseler.
Teorem
Eğer sürekli sinyal x(t) f_max'a kadar frekans bileşeni içeriyorsa, f_s ≥ 2·f_max hızında örnekleme tüm bilgilere ulaşır. Orijinal sinyal, örneklemelerden eksiksiz yeniden oluşturulur.
Nyquist ismi verilen eşiğin f_s / 2 = f_max. Pratikte yeterli olan ancak uygulamada tehlikeli olan Nyquist hızı (2·f_max) tam olarak örneklemeyi gerektirir. En yüksek frekansla herhangi bir hafif uyumsuzluk, aliasing oluşturur.
Aliasing
Bir sinyal f_s/2'den yüksek frekanslar içeriyorsa, bu frekanslar [0, f_s/2] bantına geri katılır. f = f_s/2 + δ olan bir sinusoid, f_s/2 − δ olan bir sinusoidten ayırt edilemez. Tukey, bu kimliği değiştirmeyi aliasing olarak adlandırdı.
Geometrik resim: frekanslar f ve f + f_s, tam zamanlarda aynı örnekleri üretir ve paylaşırlar. Bir aliasi vardır.
Örnekleme Oranının Seçilmesi
Pratik bir dijital audio sistemi, filtreler tasarlamadan önce örneklemeyi sıklık seçmelidir. İnsanlar yaklaşık olarak 20 kHz'a kadar duyabilir. Standart CD örneklemesi oranı 44.1 kHz olup Nyquist sıklığı 22.05 kHz'tir.
Örneklemeden önce, anti-aliassing filtresi Nyquist sıklığından daha yüksek frekansları kaldırmalıdır. Eğer küçük bir 25 kHz bile bileşen sampler içine girerse, 44100 - 25000 = 19.1 kHz'ye alias olur - duyulur.
Hamming'in Tasarım Felsefesi
Hamming, matematikten daha geniş bir ders de öğretti. Dijital filtreler, çünkü donanım sınırları vardır - ve bu sınırları anlamak, iyi tasarım yapmada önemlidir.
O, donanımın performansı üzerinde üç doğa yasasını tanımladı:
1. Moleküler boyut: Devam eden şekilde küçültülemeyen devreler vardır. Belirli bir ölçekte kuantum etkileri hakim olur.
2. Işık hızı: sinyaller en fazla 3×10⁸ m/s hıza sahiptir. Cihaz içinde ışık hızından daha hızlı saat döngüleri, sinyal geçiş süresi boyunca oluşur.
3. Isı salınımı: devreler enerji harcar ve bu enerji ısıya dönüşür. Yoğun ve hızlı devreler, soğutma gerektirir.
Tasarım felsefesi doğrudan takip etti: sınırları anlamanız, sonra onları rahatça değişim ve hata için alan bırakacak şekilde sistemler tasarlayın.
Dijital filtreler, hesaplamaları analog devrelerden (örneklemeler üzerinde aritmetik) yazılım (sayısal) olarak taşır. Bu değişiklik, örneklemeyi teoremi, mucize değil, sonuç olarak yapar - sınırların anlaşılması.
Hamming's Design Philosophy
Hamming'in vurgusu: bir dijital filtre, bir analog filtre gibi donanımda yapılırken, örnekleme teoremi köprüdür. Köprünün dayanıklı olduğunu biliyorsanız, istenilen transfer fonksiyonunu belirtin ve ardından onu gerçekleştirmek için katsayı dizini bulabilirsiniz.
Mühendislerin işi, bobin dövmek ve kondansatörler sızdırmak yerine, spesifikasyon ve aritmetik oluverir.