函數作為向量
傅立葉級數不只是計算工具，它是一個幾何運算：函數在基上的正交投影。
函數空間
在 [0,1] 上可平方積分函數的集合構成向量空間 L²[0,1]。加法與純量乘法逐點作用。兩個函數 f、g 的內積：
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
其中 g* 是 g 的複數共軛。這滿足所有內積公理。
傅立葉基的正交性
函數 φ_k(t) = e^{i2πkt} 構成 L²[0,1] 的標準正交基：
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
（若 k = m 則等於 1，否則等於 0，因為在一個完整週期上積分純振盪。）
傅立葉係數作為內積
x(t) 的第 k 個傅立葉係數：
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
這是 x 在基向量 φ_k 上的投影。係數衡量 φ_k 在 x 中出現的程度。
投影到子空間
截斷傅立葉級數到 2N+1 項將 x 投影到由 {φ_{−N}, …, φ_N} 張成的子空間上。截斷級數是 x 在這個有限維子空間上的正交投影。
根據 Bessel 不等式，投影最小化 L² 誤差：
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² for any choice of a_k
傅立葉截斷是該子空間中 L² 的最佳近似。它最小化均方誤差（差的 L² 範數平方）。
矩形窗 → Sinc 核
時域中的矩形窗（僅保留 |k| ≤ N 的係數）對應於係數指標中的 rect 函數相乘。
一個域中的乘法對應於另一個域中的卷積。
矩形窗的傅立葉變換（在離散係數空間中）是Dirichlet 核，一個週期性的 sinc 型函數：
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
當我們截斷傅立葉級數時，我們將理想響應 H_ideal(f) 與 D_N(f) 做卷積。
為什麼會出現吉布斯現象
Dirichlet 核有衰減緩慢的大旁瓣。在 H_ideal(f) 的階躍不連續處附近，這些旁瓣會振鈴，它們在跳躍的一側相干疊加，產生約 9% 的超調。
數學常數：∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519。吉布斯超調高度 = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%。這與 N 無關。
窗的幾何
光滑窗（Hamming、Hann、Kaiser）的傅立葉變換有更低的旁瓣。將 H_ideal(f) 與旁瓣較小的核卷積會產生更少的振鈴。權衡：較低的旁瓣總是伴隨更寬的主瓣，寬化過渡帶。
吉布斯常數
吉布斯超調是一個定積分，不是 N 的函數。
N 項傅立葉偏和在單位階躍處的第一個最大值發生在距不連續處 f ≈ 1/(2N)。當 N → ∞ 時，此最大值趨近於 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895。
超調：0.0895 或約階躍高度的 8.95%。
窗作為頻域核
每個窗函數都有一個傅立葉變換，描述用於平滑理想頻率響應的核。
核的關鍵幾何參數：
1. 主瓣寬度：決定過渡帶寬度（更寬的主瓣 → 更寬的過渡）。
2. 峰值旁瓣電平：決定通帶 & 阻帶漣波（更低的旁瓣 → 更少漣波）。
這兩個參數不是獨立的。對於給定的窗長度 2N+1，降低旁瓣高度需要擴寬主瓣，總是如此。
Kaiser 的窗給用戶一個旋鈕（α）連續地權衡旁瓣高度對主瓣寬度，而不是在固定窗類型之間跳躍。
設計洞察
過渡帶寬度 ΔF ≈ main lobe width / N。漣波 δ ≈ sidelobe level。兩個公式都是近似的；Kaiser 的方程使它們精確。