Funciones como Vectores
La serie de Fourier no es solo una herramienta computacional — es una operación geométrica: proyección ortogonal de una función sobre una base.
Espacio de Funciones
El conjunto de funciones integrables al cuadrado en [0,1] forma un espacio vectorial L²[0,1]. La adición & multiplicación escalar funcionan puntualmente. El producto interno de dos funciones f, g:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
donde g* es el conjugado complejo de g. Esto satisface todos los axiomas del producto interno.
Ortogonalidad de la Base de Fourier
Las funciones φ_k(t) = e^{i2πkt} forman una base ortonormal para L²[0,1]:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(Esto es igual a 1 si k = m, 0 en otro caso — integrando una oscilación pura sobre un período completo.)
Coeficiente de Fourier como Producto Interno
El k-ésimo coeficiente de Fourier de x(t):
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
Esta es la proyección de x sobre el vector base φ_k. El coeficiente mide cuánto de φ_k está presente en x.
Proyección sobre un Subespacio
Truncar una serie de Fourier a 2N+1 términos proyecta x sobre el subespacio generado por {φ_{−N}, …, φ_N}. La serie truncada es la proyección ortogonal de x sobre este subespacio de dimensión finita.
Por la desigualdad de Bessel, la proyección minimiza el error L²:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² para cualquier elección de a_k
La truncación de Fourier es la mejor aproximación en L² de ese subespacio. Minimiza el error cuadrado medio (la norma L² al cuadrado de la diferencia).
Ventana Rectangular → Núcleo Sinc
La ventana rectangular en el dominio del tiempo (manteniendo solo coeficientes para |k| ≤ N) corresponde a multiplicación por una función rect en el índice de coeficientes.
La multiplicación en un dominio corresponde a convolución en el otro dominio.
La transformada de Fourier de la ventana rectangular (en el espacio discreto de coeficientes) es el núcleo de Dirichlet — una función periódica similar a sinc:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
Cuando truncamos la serie de Fourier, convolucionamos la respuesta ideal H_ideal(f) con D_N(f).
Por qué Ocurre Gibbs
El núcleo de Dirichlet tiene lóbulos laterales grandes que decaen lentamente. Cerca de una discontinuidad de salto en H_ideal(f), estos lóbulos laterales resuenan — se suman coherentemente en un lado del salto, produciendo el sobrepico de ≈9%.
La constante matemática: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519. La altura del sobrepico de Gibbs = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%. Esto es independiente de N.
Geometría de Ventana
Una ventana suave (Hamming, Hann, Kaiser) tiene una transformada de Fourier con lóbulos laterales más bajos. Convolucionar H_ideal(f) con un núcleo que tiene lóbulos laterales más pequeños produce menos resonancia. La compensación: los lóbulos laterales más bajos siempre vienen con un lóbulo principal más ancho, ampliando la banda de transición.
La Constante de Gibbs
El sobrepico de Gibbs es una integral definida, no una función de N.
El primer máximo de la suma parcial de Fourier de N términos de un escalón unitario ocurre en f ≈ 1/(2N) de la discontinuidad. Cuando N → ∞, este máximo se aproxima a 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895.
El sobrepico: 0.0895 o aproximadamente 8.95% de la altura del salto.
Ventanas como Núcleos en el Dominio de Frecuencia
Cada función de ventana tiene una transformada de Fourier que describe el núcleo usado para suavizar la respuesta de frecuencia ideal.
Los parámetros geométricos clave del núcleo:
1. Ancho del lóbulo principal: determina el ancho de la banda de transición (lóbulo principal más ancho → transición más ancha).
2. Nivel del lóbulo lateral pico: determina la ondulación de banda de paso & banda de parada (lóbulos laterales más bajos → menos ondulación).
Estos dos parámetros no son independientes. Para una longitud de ventana dada 2N+1, reducir la altura del lóbulo lateral requiere ensanchar el lóbulo principal — siempre.
La ventana de Kaiser le da al usuario una perilla (α) para compensar la altura del lóbulo lateral vs el ancho del lóbulo principal continuamente, en lugar de saltar entre tipos de ventanas fijas.
Perspectiva de Diseño
El ancho de la banda de transición ΔF ≈ ancho del lóbulo principal / N. La ondulación δ ≈ nivel del lóbulo lateral. Ambas fórmulas son aproximadas; las ecuaciones de Kaiser las hacen exactas.