सदिश के रूप में कार्य
फूरियर श्रृंखला केवल एक कम्प्यूटेशनल उपकरण नहीं है — यह एक ज्यामितीय ऑपरेशन है: एक आधार पर एक कार्य का अलंकृत प्रक्षेपण।
कार्य समष्टि
वर्ग-समाकलनीय कार्यों का समूह [0,1] पर एक सदिश समष्टि L²[0,1] बनाता है। जोड़ & अदिश गुणन बिंदु-वार काम करते हैं। दो कार्यों f, g का आंतरिक गुणनफल:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
जहाँ g* g का सम्मिश्र संयुग्म है। यह सभी आंतरिक गुणनफल अभिगृहीत को संतुष्ट करता है।
फूरियर आधार की अलंकृतता
कार्य φ_k(t) = e^{i2πkt} L²[0,1] के लिए एक अलंकृत-प्रसामान्य आधार बनाते हैं:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(यह 1 के बराबर है यदि k = m, अन्यथा 0 — एक पूर्ण अवधि पर शुद्ध दोलन को एकीकृत करके।)
आंतरिक गुणनफल के रूप में फूरियर गुणांक
x(t) का k-वाँ फूरियर गुणांक:
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
यह आधार सदिश φ_k पर x का प्रक्षेपण है। गुणांक मापता है कि x में φ_k का कितना हिस्सा मौजूद है।
एक उप-समष्टि पर प्रक्षेपण
एक फूरियर श्रृंखला को 2N+1 पदों तक सीमित करने से x को {φ_{−N}, …, φ_N} द्वारा फैली गई उप-समष्टि पर प्रक्षेपित किया जाता है। सीमित श्रृंखला x का अलंकृत प्रक्षेपण है इस परिमित-आयामी उप-समष्टि पर।
बेसेल की असमानता के अनुसार, प्रक्षेपण L² त्रुटि को कम करता है:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² for any choice of a_k
फूरियर अनुमापन उस उप-समष्टि से अधिकतम 2N+1 पदों का सर्वोत्तम L²-सन्निकटन है। यह माध्य वर्ग त्रुटि (अंतर का L² नर्म वर्ग) को कम करता है।
आयताकार खिड़की → सिंक कर्नेल
समय-क्षेत्र में आयताकार खिड़की (केवल गुणांक |k| ≤ N रखना) गुणांक सूचकांक में एक rect फलन से गुणन से मेल खाता है।
एक क्षेत्र में गुणन दूसरे क्षेत्र में संविधान से मेल खाता है।
आयताकार खिड़की का फूरियर रूपांतरण (असतत गुणांक समष्टि में) डिरिचलेट कर्नेल है — एक आवर्ती सिंक-जैसा फलन:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
जब हम फूरियर श्रृंखला को अनुमापित करते हैं, हम आदर्श प्रतिक्रिया H_ideal(f) को D_N(f) के साथ संविधित करते हैं।
गिब्स क्यों होता है
डिरिचलेट कर्नेल के बड़े दुष्प्रभाव होते हैं जो धीरे से क्षय होते हैं। H_ideal(f) में एक स्टेप असंততता के पास, ये दुष्प्रभाव बजते हैं — वे छलांग के एक ओर सुसंगत रूप से जोड़ते हैं, ≈9% अतिशूट पैदा करते हैं।
गणितीय स्थिरांक: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519। गिब्स अतिशूट ऊँचाई = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%। यह N पर स्वतंत्र है।
खिड़की ज्यामिति
एक चिकनी खिड़की (हैमिंग, हैन, कैसर) में कम दुष्प्रभाव वाला फूरियर रूपांतरण होता है। H_ideal(f) को एक कर्नेल के साथ संविधित करना जिसके छोटे दुष्प्रभाव हैं कम बजना पैदा करता है। व्यापार-बंद: कम दुष्प्रभाव हमेशा एक व्यापक मुख्य लोब के साथ आते हैं, संक्रमण बैंड को चौड़ा करते हैं।
गिब्स स्थिरांक
गिब्स अतिशूट एक निश्चित समाकलन है, N का फलन नहीं।
एक इकाई स्टेप के N-पद आंशिक फूरियर योग का पहला अधिकतम f ≈ 1/(2N) पर असंततता से होता है। जैसे N → ∞, यह अधिकतम 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895 के करीब आता है।
अतिशूट: 0.0895 या लगभग 8.95% की छलांग ऊँचाई।
आवृत्ति-क्षेत्र कर्नेल के रूप में खिड़कियाँ
प्रत्येक खिड़की फलन का एक फूरियर रूपांतरण है जो आदर्श आवृत्ति प्रतिक्रिया को सुचारू करने के लिए प्रयुक्त कर्नेल का वर्णन करता है।
कर्नेल की मुख्य ज्यामितीय मापदंड:
1. मुख्य लोब चौड़ाई: संक्रमण बैंड चौड़ाई निर्धारित करता है (व्यापक मुख्य लोब → व्यापक संक्रमण)।
2. शिखर दुष्प्रभाव स्तर: पासबैंड & स्टॉपबैंड तरंग निर्धारित करता है (कम दुष्प्रभाव → कम तरंग)।
ये दो मापदंड स्वतंत्र नहीं हैं। दी गई खिड़की लंबाई 2N+1 के लिए, दुष्प्रभाव ऊँचाई को कम करना मुख्य लोब को व्यापक करना आवश्यक बनाता है — हमेशा।
कैसर की खिड़की उपयोगकर्ता को एक नॉब (α) देती है जो दुष्प्रभाव ऊँचाई vs मुख्य लोब चौड़ाई को निरंतर व्यापार-बंद करने के लिए, निश्चित खिड़की प्रकारों के बीच कूदने के बजाय।
डिज़ाइन अंतर्दृष्टि
संक्रमण बैंड चौड़ाई ΔF ≈ मुख्य लोब चौड़ाई / N। तरंग δ ≈ दुष्प्रभाव स्तर। दोनों सूत्र अनुमानित हैं; कैसर के समीकरण उन्हें सटीक बनाते हैं।