ფუნქციები ვექტორებად
ფურიეს სერია მხოლოდ გამოთვლითი ინსტრუმენტი არ არის — ეს არის გეომეტრიული ოპერაცია: ფუნქციის ორთოგონალური პროექცია ბაზაზე.
ფუნქციის სივრცე
კვადრატში ინტეგრირებადი ფუნქციების ნაკრები [0,1] ზე ქმნის ვექტორულ სივრცეს L²[0,1]. შეკრება & სკალარული გამრავლება მუშაობს წერტილობრივად. ორი ფუნქციის შიგა ნამრავლი f, g:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
სადაც g* არის g-ის კომპლექსური კონიუგატი. ეს აკმაყოფილებს შიგა ნამრავლის ყველა აქსიომას.
ფურიეს ბაზის ორთოგონალობა
ფუნქციები φ_k(t) = e^{i2πkt} ქმნიან ორთონორმალურ ბაზას L²[0,1]-სთვის:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(ეს უტოლდება 1-ს თუ k = m, 0 სხვა შემთხვევაში — სუფთა რხევის ინტეგრირებით სრულ პერიოდზე.)
ფურიეს კოეფიციენტი როგორც შიგა ნამრავლი
x(t)-ის k-ე ფურიეს კოეფიციენტი:
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
ეს არის x-ის პროექცია საბაზო ვექტორ φ_k-ზე. კოეფიციენტი ზომავს რამდენი φ_k წარმოდგენილია x-ში.
პროექცია ქვესივრცეზე
ფურიეს სერიის შემცირება 2N+1 წევრზე პროექტირებს x-ს ქვესივრცეზე, რომელიც სპანირებულია {φ_{−N}, …, φ_N} ფუნქციებით. შემცირებული სერია არის x-ის ორთოგონალური პროექცია ამ სასრულ-განზომილებიან ქვესივრცეზე.
ბესელის უტოლობის მიხედვით, პროექცია მინიმიზირებს L² შეცდომას:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² a_k-ის ნებისმიერი არჩევისთვის
ფურიეს შემცირება არის საუკეთესო მიახლოება L²-ში იმ ქვესივრციდან. ეს მინიმიზირებს საშუო კვადრატული შეცდომას (სხვაობის L² ნორმის კვადრატი).
მართკუთხა ფანჯარი → სინკ ბირთვი
მართკუთხა ფანჯარი დროის დომენში (მხოლოდ კოეფიციენტების შენახვა |k| ≤ N-ის) შეესაბამება გამრავლებას rect ფუნქციით კოეფიციენტის ინდექსში.
გამრავლება ერთ დომენში შეესაბამება ჯამვორს სხვა დომენში.
მართკუთხა ფანჯრის ფურიეს ტრანსფორმაცია (დისკრეტულ კოეფიციენტის სივრცეში) არის დირიხლეს ბირთვი — პერიოდული სინკ-მსგავსი ფუნქცია:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
ფურიეს სერიის შემცირებისას, ჩვენ ჯამვრით შედეგს H_ideal(f)-სთან D_N(f)-ის.
რატომ ხდება გიბსი
დირიხლეს ბირთვს აქვს დიდი გვერდითი წილებები, რომლებიც ნელი გაქვანებ უცვლელი. H_ideal(f)-ის ნახტომის უწყვეტობის მახლობლად, ეს გვერდითი წილებები რეზონირდება — ისინი ერთი მხრიდან ერთდროულად ემატება, წარმოქმნის ≈9% გადამეტებას.
მათემატიკური მუდმივი: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519. გიბსის გადამეტება = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%. ეს დამოუკიდებელია N-ისაგან.
ფანჯრის გეომეტრია
부드러운ფანჯარი (ჰამინგი, ჰან, კაიზერი) აქვს ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელსაც უფრო დაბალი გვერდითი წილებები აქვს. H_ideal(f)-ის ჯამვორი ბირთვის, რომელსაც უფრო მცირე გვერდითი წილებები აქვს, წარმოქმნის ნაკლებ რეზონირებას. ტრეიდ-ოფი: დაბალი გვერდითი წილებები ყოველთვის უფრო ფართო მთავარი წილით მოდის, გვერდითი მხარეს რეზოლუციის დიაპაზონის გაფართოებით.
გიბსის მუდმივი
გიბსის გადამეტება არის განსაზღვრული ინტეგრალი, ვარ ფუნქცია N-ის.
N-ტერმიანი ნაჭილი ფურიეს ჯამი ერთეულის ნახტომის პირველი მაქსიმუმი ხდება f ≈ 1/(2N)-ზე უწყვეტობიდან. N → ∞-სთან, ეს მაქსიმუმი მიდის 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895-ზე.
გადამეტება: 0.0895 ან დაახლოებით 8.95% ნახტომის სიმაღლე.
ფანჯრები როგორც სიხშირის დომენის ბირთვები
ყველა ფანჯრის ფუნქციას აქვს ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელიც აღწერს ბირთვს, რომელიც გამოიყენება იდეალური სიხშირის რეაქციის გამთლიანებისთვის.
ბირთვის გეომეტრიული პარამეტრები:
1. მთავარი წილის სიგანე: განსაზღვრავს გადასვლის დიაპაზონის სიგანეს (ფართო მთავარი წილი → ფართო გადასვლა).
2. პიკი გვერდითი წილის დონე: განსაზღვრავს მოღების დიაპაზონსა & აღენიშვის დიაპაზონის აბნეულობას (დაბალი გვერდითი წილებები → ნაკლები აბნეულობა).
ეს ორი პარამეტრი არ არის დამოუკიდებელი. ფიქსირებული ფანჯრის სიგრძისთვის 2N+1, გვერდითი წილის სიმაღლის შემცირება მოითხოვს მთავარი წილის გაფართოებას — ყოველთვის.
კაიზერის ფანჯარი აძლევს მომხმარებელს ერთ კვანძს (α) გვერდითი წილის სიმაღლე & მთავარი წილის სიგანეს შორის უწყვეტი ვაჭრობის ნაცვლად ფიქსირებული ფანჯრის ტიპებს შორის ცვლილების.
დიზაინის অন্তর্দৃষ্টি
გადასვლის დიაპაზონის სიგანე ΔF ≈ მთავარი წილის სიგანე / N. აბნეულობა δ ≈ გვერდითი წილის დონე. ორივე ფორმულა დაახლოებითია; კაიზერის განტოლებები აქცევს მათ ზუსტ.