Funções como Vetores
A série de Fourier não é apenas uma ferramenta computacional — é uma operação geométrica: projeção ortogonal de uma função em uma base.
Espaço de Funções
O conjunto de funções integráveis ao quadrado em [0,1] forma um espaço vetorial L²[0,1]. Adição & multiplicação escalar funcionam pontualmente. O produto interno de duas funções f, g:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
onde g* é o conjugado complexo de g. Isto satisfaz todos os axiomas do produto interno.
Ortogonalidade da Base de Fourier
As funções φ_k(t) = e^{i2πkt} formam uma base ortonormal para L²[0,1]:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(Isto é igual a 1 se k = m, 0 caso contrário — integrando uma oscilação pura ao longo de um período completo.)
Coeficiente de Fourier como Produto Interno
O k-ésimo coeficiente de Fourier de x(t):
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
Esta é a projeção de x no vetor base φ_k. O coeficiente mede quanto de φ_k está presente em x.
Projeção em um Subespaço
Truncar uma série de Fourier em 2N+1 termos projeta x no subespaço abrangido por {φ_{−N}, …, φ_N}. A série truncada é a projeção ortogonal de x neste subespaço de dimensão finita.
Pela desigualdade de Bessel, a projeção minimiza o erro L²:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² for any choice of a_k
A truncação de Fourier é a melhor aproximação em L² daquele subespaço. Ela minimiza o erro quadrático médio (o quadrado da norma L² da diferença).
Janela Retangular → Núcleo Sinc
A janela retangular no domínio do tempo (mantendo apenas coeficientes para |k| ≤ N) corresponde a multiplicação por uma função rect no índice de coeficiente.
Multiplicação em um domínio corresponde a convolução no outro domínio.
A transformada de Fourier da janela retangular (no espaço de coeficiente discreto) é o núcleo de Dirichlet — uma função tipo sinc periódica:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
Quando truncamos a série de Fourier, convoluímos a resposta ideal H_ideal(f) com D_N(f).
Por Que Gibbs Ocorre
O núcleo de Dirichlet tem grandes lóbulos laterais que decaem lentamente. Perto de uma descontinuidade de salto em H_ideal(f), estes lóbulos laterais ressoam — eles se adicionam coerentemente de um lado do salto, produzindo o ≈9% de excesso.
A constante matemática: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519. A altura do excesso de Gibbs = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%. Isto é independente de N.
Geometria da Janela
Uma janela suave (Hamming, Hann, Kaiser) tem uma transformada de Fourier com lóbulos laterais menores. Convolução de H_ideal(f) com um núcleo que tem lóbulos laterais menores produz menos ressonância. O trade-off: lóbulos laterais menores sempre vêm com um lóbulo principal mais largo, ampliando a banda de transição.
A Constante de Gibbs
O excesso de Gibbs é uma integral definida, não uma função de N.
O primeiro máximo da soma parcial de Fourier de N termos de um degrau unitário ocorre em f ≈ 1/(2N) da descontinuidade. Quando N → ∞, este máximo se aproxima de 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895.
O excesso: 0.0895 ou aproximadamente 8.95% da altura do salto.
Janelas como Núcleos do Domínio da Frequência
Toda função de janela tem uma transformada de Fourier que descreve o núcleo usado para suavizar a resposta em frequência ideal.
Os parâmetros geométricos chave do núcleo:
1. Largura do lóbulo principal: determina a largura da banda de transição (lóbulo principal mais largo → transição mais larga).
2. Nível de pico do lóbulo lateral: determina a ondulação da banda de passagem & banda de parada (lóbulos laterais menores → menos ondulação).
Estes dois parâmetros não são independentes. Para uma dada largura de janela 2N+1, reduzir a altura do lóbulo lateral requer alargamento do lóbulo principal — sempre.
A janela de Kaiser dá ao usuário um botão (α) para trocar altura de lóbulo lateral vs largura de lóbulo principal continuamente, em vez de pular entre tipos de janela fixos.
Insight de Design
A largura da banda de transição ΔF ≈ largura do lóbulo principal / N. A ondulação δ ≈ nível do lóbulo lateral. Ambas as fórmulas são aproximadas; as equações de Kaiser as tornam exatas.