Fungsi sebagai Vektor
Deret Fourier bukan hanya alat komputasi — ini adalah operasi geometris: proyeksi ortogonal dari suatu fungsi ke basis.
Ruang Fungsi
Himpunan fungsi kuadrat-terintegrasi pada [0,1] membentuk ruang vektor L²[0,1]. Penjumlahan & perkalian skalar bekerja secara pointwise. Hasil kali dalam dua fungsi f, g:
⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f(t) · g*(t) dt
dengan g* adalah konjugat kompleks dari g. Ini memenuhi semua aksioma hasil kali dalam.
Ortogonalitas Basis Fourier
Fungsi φ_k(t) = e^{i2πkt} membentuk basis ortonormal untuk L²[0,1]:
⟨φ_k, φ_m⟩ = ∫₀¹ e^{i2πkt} · e^{−i2πmt} dt = ∫₀¹ e^{i2π(k−m)t} dt = δ_{km}
(Ini sama dengan 1 jika k = m, 0 sebaliknya — dengan mengintegralkan osilasi murni selama satu periode penuh.)
Koefisien Fourier sebagai Hasil Kali Dalam
Koefisien Fourier ke-k dari x(t):
c_k = ⟨x, φ_k⟩ = ∫₀¹ x(t) · e^{−i2πkt} dt
Ini adalah proyeksi dari x ke vektor basis φ_k. Koefisien mengukur berapa banyak φ_k yang ada dalam x.
Proyeksi ke Subruang
Pemotongan deret Fourier hingga 2N+1 suku memproyeksikan x ke subruang yang direntang oleh {φ_{−N}, …, φ_N}. Deret terpotong adalah proyeksi ortogonal dari x ke subruang berdimensi terbatas ini.
Menurut pertidaksamaan Bessel, proyeksi meminimalkan kesalahan L²:
‖x − Σ_{k=−N}^{N} c_k φ_k‖² ≤ ‖x − Σ_{k=−N}^{N} a_k φ_k‖² untuk setiap pilihan a_k
Pemotongan Fourier adalah aproksimasi terbaik dalam L² dari subruang itu. Ia meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata (norma L² kuadrat dari perbedaannya).
Jendela Rectangular → Kernel Sinc
Jendela rectangular dalam domain waktu (mempertahankan hanya koefisien untuk |k| ≤ N) sesuai dengan perkalian oleh fungsi rect dalam indeks koefisien.
Perkalian dalam satu domain sesuai dengan konvolusi dalam domain lain.
Transformasi Fourier dari jendela rectangular (dalam ruang koefisien diskrit) adalah kernel Dirichlet — fungsi seperti sinc periodik:
D_N(f) = Σ_{k=−N}^{N} e^{i2πfk} = sin(π(2N+1)f) / sin(πf)
Ketika kami memotong deret Fourier, kami mengkonvolusi respons ideal H_ideal(f) dengan D_N(f).
Mengapa Gibbs Terjadi
Kernel Dirichlet memiliki sidelobe besar yang meluruh dengan lambat. Di dekat diskontinuitas lompatan dalam H_ideal(f), sidelobe ini berdering — mereka menambah secara koheren di satu sisi lompatan, menghasilkan lonjakan ≈9%.
Konstanta matematis: ∫₀^π sin(t)/t dt = Si(π) ≈ 1.8519. Tinggi lonjakan Gibbs = (2/π)·Si(π) − 1 ≈ 0.0895 = 8.95%. Ini independen dari N.
Geometri Jendela
Jendela halus (Hamming, Hann, Kaiser) memiliki transformasi Fourier dengan sidelobe lebih rendah. Mengkonvolusi H_ideal(f) dengan kernel yang memiliki sidelobe lebih kecil menghasilkan ringing kurang. Pertukaran: sidelobe lebih rendah selalu datang dengan main lobe lebih lebar, memperlebar band transisi.
Konstanta Gibbs
Lonjakan Gibbs adalah integral tertentu, bukan fungsi dari N.
Maksimum pertama dari jumlah parsial N-suku deret Fourier dari lompatan satuan terjadi pada f ≈ 1/(2N) dari diskontinuitas. Ketika N → ∞, maksimum ini mendekati 1/(2)·(2/π)·Si(π) ≈ 1.0895.
Lonjakan: 0.0895 atau sekitar 8.95% dari ketinggian lompatan.
Jendela sebagai Kernel Domain Frekuensi
Setiap fungsi jendela memiliki transformasi Fourier yang mendeskripsikan kernel yang digunakan untuk menghaluskan respons frekuensi ideal.
Parameter geometris kunci dari kernel:
1. Lebar main lobe: menentukan lebar band transisi (main lobe lebih lebar → transisi lebih lebar).
2. Tingkat sidelobe puncak: menentukan riak passband & stopband (sidelobe lebih rendah → riak lebih sedikit).
Dua parameter ini tidak independen. Untuk panjang jendela 2N+1 yang diberikan, mengurangi tinggi sidelobe memerlukan memperlebar main lobe — selalu.
Jendela Kaiser memberi pengguna satu knob (α) untuk menukar tinggi sidelobe vs lebar main lobe secara kontinyu, daripada melompat antara tipe jendela tetap.
Wawasan Desain
Lebar band transisi ΔF ≈ lebar main lobe / N. Riak δ ≈ tingkat sidelobe. Kedua rumus bersifat perkiraan; persamaan Kaiser membuatnya tepat.