練習和冪律
在一個驚人的技能範圍內——打字、閱讀、解決算術問題、組裝設備——表現根據一個冪律改善：
y = a · x^(−b)
其中 y = 每次試驗的錯誤（或每次試驗的時間），x = 累積練習試驗，a = 初始表現水平，b = 學習速率指數（b > 0 表示改進）。
冪律有一個簡潔的特性：在對數-對數空間中，它變成一條直線。
ln y = ln a − b · ln x
對數-對數空間中直線的斜率：−b。更陡峭的斜率 = 更快的學習。無論初始表現水平 a 如何，相同的指數 b 都描述學習速率。
為什麼是對數-對數？ 早期練習產生大收益；後期練習產生收益遞減。線性圖表顯示戲劇性的初始下降，然後是平坦的尾部。對數-對數揭示了自相似結構：每次練習翻倍會將錯誤減少相同的比例 2^(−b)。
計算學習速率
如果學習者在試驗 1 上犯 100 個錯誤，在試驗 8 上犯 50 個錯誤，b 是多少？
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
艾賓浩斯和指數遺忘
赫爾曼·艾賓浩斯（1885）測量了他自己對無意義音節的保留隨時間的變化，發現保留遵循指數衰減：
r(t) = e^(−t/S)
其中 r(t) = 在時間 t 保留的比例，S = 記憶強度（每次複習時增加）。在 t = 0 時：r = 1（100% 保留）。在 t = S 時：r = 1/e ≈ 37%。
間隔效應： 在接近遺忘的時刻複習材料（當 r ≈ 0.8 或更低時）比在學習後立即複習產生更大的 S 增加。
最優複習時間：如果 S 隨著每次複習以固定係數 k 增長，最優間隔形成幾何序列。學習後，在 S₀、k·S₀、k²·S₀.... 時複習。每個間隔都比前一個長 k 倍。
來自經驗數據的典型 k 值：2.0–2.5。在第 1、2、4、8、16 天複習的學生遵循這種幾何間隔模式。
計算最優複習間隔
學生學習材料，初始記憶強度 S₀ = 2 天。每次複習將 S 乘以 k = 2.5。學生在保留率下降到 80% 之前複習（r ≥ 0.80 閾值）。
在閾值處：e^(−t/S) = 0.80，所以 t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223。
作為圖的課程
分支程式定義一個有向圖 G = (V, E)，其中：
- 頂點 V：教學節點（內容塊、問題、反饋）
- 邊 E：由學生回答分類標記的過渡（正確、部分、不正確、澄清）
每個學生通過 G 從進入頂點追蹤一條路徑到退出頂點。路徑完全取決於在每一步激活哪些邊。
圖結構決定的特性：
1. 可達性： 能否從進入點到達每個頂點？無法到達的頂點是死內容——學生永遠看不到它。
2. 循環檢測： 圖是否包含循環？循環意味著學生可以無限循環。自適應程式刻意使用循環（重試循環），但必須保證最終退出（強制進度的最大嘗試邊）。
3. 路徑長度分佈： 典型學生需要多少步？一個好的分支程式讓進階學生走短路徑；掙扎的學生走更長的補救路徑。
分析分支程式的特性
考慮一個有 5 個問題節點（Q1–Q5）和 3 個補救節點（R1–R3）的分支程式。一個進階學生的路徑：Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5。一個掙扎的學生的路徑：Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5。
圖通過最大嘗試邊保證進度：在任何 Qn 進行 3 次失敗嘗試後，學生無論表現如何都會進進到 Qn+1。