練習 & べき乗則
タイピング、読書、算数問題の解答、機械組立など多岐にわたるスキルについて、パフォーマンスはべき乗則に従って改善される：
y = a · x^(−b)
ここで y = 1試行あたりのエラー数（または1試行あたりの時間）、x = 累積練習試行数、a = 初期パフォーマンスレベル、b = 学習率指数（改善のために b > 0）。
べき乗則には優れた性質がある：対数-対数空間では直線になる。
ln y = ln a − b · ln x
対数-対数空間での直線の傾き：−b。傾きが急 = 学習が速い。初期パフォーマンスレベル a に関係なく、同じ指数 b が学習率を記述する。
なぜ対数-対数か？ 初期の練習は大きな進歩をもたらし、後の練習は収穫逓減をもたらす。直線プロットは劇的な初期降下その後フラットなテールを示す。対数-対数は自己相似構造を明らかにする：練習を倍にするたびにエラーは同じ割合 2^(−b) だけ減少する。
学習率の計算
学習者が試行1で100個のエラーを犯し、試行8で50個のエラーを犯した場合、b は何か？
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
エビングハウス & 指数関数的忘却
ヘルマン・エビングハウス（1885）は無意味音節の時間経過による保持を測定し、保持が指数関数的減衰に従うことを発見した：
r(t) = e^(−t/S)
ここで r(t) = 時間 t での保持率、S = 記憶強度（各レビューで増加）。t = 0：r = 1（100%保持）。t = S：r = 1/e ≈ 37%。
間隔効果： ほぼ忘却の瞬間（r ≈ 0.8 以下）に学習内容を復習すると、学習直後に復習するよりも S がより大きく増加する。
最適なレビュータイミング：各レビューで S が固定係数 k だけ増加する場合、最適な間隔は幾何級数を形成する。S₀ で学習した後、時間 S₀, k·S₀, k²·S₀, ... に復習する。各間隔は前の間隔の k 倍。
経験的データからの典型的な k 値：2.0–2.5。1、2、4、8、16日目に復習する学生はこの幾何学的間隔パターンに従う。
最適レビュー間隔の計算
学生が S₀ = 2 日の初期記憶強度で学習教材を学ぶ。各レビューで S に k = 2.5 を乗じる。学生は保持が80%（r ≥ 0.80閾値）に低下する直前に復習する。
閾値では：e^(−t/S) = 0.80、したがって t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223。
グラフとしてのカリキュラム
分岐プログラムは有向グラフ G = (V, E) を定義する：
- 頂点 V：教育ノード（コンテンツブロック、質問、フィードバック）
- 辺 E：学生の応答分類によってラベル付けされた遷移（正解、部分的理解、不正解、説明要求）
各学生は G を通じてエントリ頂点から終了頂点への経路をたどる。経路は各ステップでどの辺がアクティブになるかに完全に依存する。
グラフ構造が決定するプロパティ：
1. 到達可能性： エントリからすべての頂点に到達できるか？到達不可能な頂点はデッドコンテンツである — 学生はそれを見ることはできない。
2. サイクル検出： グラフはサイクルを含むか？サイクルは学生が無限ループできることを意味する。適応型プログラムはサイクルを意図的に使用する（再試行ループ）が、最終的な終了を保証する必要がある（進捗を強制する max-attempts 辺）。
3. 経路長分布： 典型的な学生は何ステップ要する？良い分岐プログラムは、高度な学生には短い経路を、苦労している学生にはより長い補習経路を取らせる。
分岐プログラムのプロパティを分析する
5つの質問ノード（Q1–Q5）と3つの補習ノード（R1–R3）を持つ分岐プログラムを考える。高度な学生の経路：Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5。苦労している学生の経路：Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5。
グラフは max-attempts 辺を介して進捗を保証する：任意の Qn で3回失敗した後、パフォーマンスに関係なく学生は Qn+1 に進む。