Практика & закон степеневої залежності
У широкому спектрі навичок — друкування, читання, розв'язування арифметичних завдань, збирання обладнання — продуктивність поліпшується відповідно до закону степеневої залежності:
y = a · x^(−b)
де y = помилки на спробу (або час на спробу), x = сукупне число спроб практики, a = початковий рівень продуктивності, b = показник темпу навчання (b > 0 для поліпшення).
Закон степеневої залежності має чисту властивість: у логарифмічно-логарифмічному просторі він стає прямою лінією.
ln y = ln a − b · ln x
Нахил лінії у логарифмічно-логарифмічному просторі: −b. Крутіший нахил = швидше навчання. Однаковий показник b описує темп навчання незалежно від початкового рівня продуктивності a.
Чому логарифмічно-логарифмічний простір? Ранні спроби дають великі поліпшення; пізніші спроби дають спадаючі прибутки. Лінійний графік показує різку початкову падку, потім плаский хвіст. Логарифмічно-логарифмічний показує самоподібну структуру: кожне подвоєння практики зменшує помилки на один і той же дріб 2^(−b).
Обчислення темпу навчання
Якщо учень робить 100 помилок на спробу 1 та 50 помилок на спробу 8, яке значення b?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Еббінгаус та експоненціальне забування
Герман Еббінгаус (1885) вимірював своє утримання невдалих складів з часом та виявив, що утримання слідує експоненціальному спаду:
r(t) = e^(−t/S)
де r(t) = дріб утримуваного матеріалу в часі t, S = сила пам'яті (зростає з кожним переглядом). При t = 0: r = 1 (100% утримується). При t = S: r = 1/e ≈ 37%.
Ефект розташування: переглядання матеріалу в момент близького забування (коли r ≈ 0.8 або менше) дає більший приріст S, ніж переглядання одразу після навчання.
Оптимальний час переглядання: якщо S зростає на фіксований коефіцієнт k з кожним переглядом, оптимальні інтервали утворюють геометричну послідовність. Після навчання з S₀, переглядай у часи S₀, k·S₀, k²·S₀, .... Кожний інтервал у k разів довший за попередній.
Типові значення k з емпіричних даних: 2.0–2.5. Учень, який переглядає в дні 1, 2, 4, 8, 16, слідує цьому геометричному паттерну розташування.
Обчислення оптимальних інтервалів переглядання
Учень навчається матеріалу з початковою силою пам'яті S₀ = 2 дні. Кожне переглядання множить S на k = 2.5. Учень переглядає перед тим, як утримання впаде до 80% (поріг r ≥ 0.80).
На порозі: e^(−t/S) = 0.80, отже t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223.
Навчальний план як граф
Розгалужена програма визначає спрямований граф G = (V, E), де:
- Вершини V: навчальні вузли (блоки контенту, запитання, зворотний зв'язок)
- Ребра E: переходи, позначені класифікаціями відповідей учня (правильна, часткова, неправильна, уточнення)
Кожен учень проходить шлях через G від вхідної вершини до вихідної вершини. Шлях залежить виключно від того, які ребра активуються на кожному кроці.
Властивості, які визначає структура графу:
1. Досяжність: чи можна досягти кожної вершини з вхідної? Недосяжна вершина — це мертвий контент — учень ніколи не може її побачити.
2. Виявлення циклів: чи містить граф цикли? Цикл означає, що учень може циклитися нескінченно. Адаптивні програми навмисно використовують цикли (цикли повторення), але повинні гарантувати вихід (ребро обмеження спроб, що примусово нав'язує прогрес).
3. Розподіл довжини шляху: скільки кроків робить типовий учень? Добра розгалужена програма дозволяє просунутим учням брати короткі шляхи; учні, які борються, проходять довші коригуючі шляхи.
Аналіз властивостей розгалуженої програми
Розглянь розгалужену програму з 5 вузлами запитань (Q1–Q5) та 3 коригуючими вузлами (R1–R3). Шлях просунутого учня: Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Шлях учня, який борється: Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Граф гарантує прогрес через ребра обмеження спроб: після 3 невдалих спроб на будь-якому Qn, учень просувається до Qn+1 незалежно від продуктивності.