La pratique et la loi de puissance
Sur une gamme remarquable de compétences — dactylographie, lecture, résolution de problèmes arithmétiques, assemblage d'équipements — la performance s'améliore selon une loi de puissance :
y = a · x^(−b)
où y = erreurs par essai (ou temps par essai), x = essais de pratique cumulés, a = niveau de performance initial, b = exposant de taux d'apprentissage (b > 0 pour une amélioration).
La loi de puissance a une propriété élégante : dans l'espace log-log, elle devient une ligne droite.
ln y = ln a − b · ln x
Pente de la ligne dans l'espace log-log : −b. Une pente plus raide = apprentissage plus rapide. Le même exposant b décrit le taux d'apprentissage indépendamment du niveau de performance initial a.
Pourquoi log-log ? La pratique précoce produit des gains importants ; la pratique ultérieure produit des rendements décroissants. Un graphique linéaire montre une baisse initiale dramatique puis une queue plate. Log-log révèle la structure auto-similaire : chaque doublement de la pratique réduit les erreurs par la même fraction 2^(−b).
Calcul du taux d'apprentissage
Si un apprenant fait 100 erreurs à l'essai 1 et 50 erreurs à l'essai 8, qu'est-ce que b ?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Ebbinghaus et l'oubli exponentiel
Hermann Ebbinghaus (1885) a mesuré sa propre rétention de syllabes sans sens au fil du temps et a découvert que la rétention suit une décroissance exponentielle :
r(t) = e^(−t/S)
où r(t) = fraction retenue au temps t, S = force mémoire (augmente avec chaque révision). À t = 0 : r = 1 (100 % retenu). À t = S : r = 1/e ≈ 37 %.
L'effet d'espacement : réviser le matériel au moment de l'oubli imminent (quand r ≈ 0.8 ou inférieur) produit une augmentation plus importante de S que de réviser immédiatement après l'apprentissage.
Timing de révision optimal : si S croît par un facteur fixe k avec chaque révision, les intervalles optimaux forment une suite géométrique. Après l'apprentissage avec S₀, revoir aux temps S₀, k·S₀, k²·S₀, .... Chaque intervalle est k fois plus long que le précédent.
Valeurs de k typiques à partir des données empiriques : 2.0–2.5. Un étudiant qui révise aux jours 1, 2, 4, 8, 16 suit ce motif d'espacement géométrique.
Calcul des intervalles de révision optimaux
Un étudiant apprend le matériel avec une force mémoire initiale S₀ = 2 jours. Chaque révision multiplie S par k = 2.5. L'étudiant révise juste avant que la rétention ne chute à 80 % (seuil r ≥ 0.80).
Au seuil : e^(−t/S) = 0.80, donc t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223.
Le curriculum comme graphe
Un programme de branchement définit un graphe dirigé G = (V, E) où :
- Sommets V : nœuds d'instruction (blocs de contenu, questions, rétroaction)
- Arêtes E : transitions étiquetées par classifications de réponses d'étudiants (correct, partiel, incorrect, clarification)
Chaque étudiant trace un chemin à travers G d'un sommet d'entrée à un sommet de sortie. Le chemin dépend entièrement des arêtes qui s'activent à chaque étape.
Propriétés que la structure du graphe détermine :
1. Accessibilité : chaque sommet peut-il être atteint à partir de l'entrée ? Un sommet inaccessible est du contenu mort — l'étudiant ne peut jamais le voir.
2. Détection de cycle : le graphe contient-il des cycles ? Un cycle signifie qu'un étudiant peut boucler indéfiniment. Les programmes adaptatifs utilisent les cycles délibérément (boucles de réessai) mais doivent garantir une sortie éventuelle (une arête de tentatives maximales qui force la progression).
3. Distribution de la longueur du chemin : combien d'étapes l'étudiant typique prend-il ? Un bon programme de branchement permet aux étudiants avancés de prendre des chemins courts ; les étudiants en difficulté prennent des chemins plus longs de remédiation.
Analyse des propriétés d'un programme de branchement
Considérez un programme de branchement avec 5 nœuds de question (Q1–Q5) et 3 nœuds de remédiation (R1–R3). Un chemin d'étudiant avancé : Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Un chemin d'étudiant en difficulté : Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Le graphe garantit la progression via des arêtes de tentatives maximales : après 3 tentatives échouées à n'importe quel Qn, l'étudiant avance vers Qn+1 indépendamment de la performance.