Üben & das Potenzgesetz
Über eine bemerkenswerte Bandbreite von Fähigkeiten hinweg — Tippen, Lesen, Lösen arithmetischer Probleme, Zusammenbau von Ausrüstung — verbessert sich die Leistung nach einem Potenzgesetz:
y = a · x^(−b)
wobei y = Fehler pro Versuch (oder Zeit pro Versuch), x = kumulative Übungsversuche, a = anfängliches Leistungsniveau, b = Lerngeschwindigkeits-Exponent (b > 0 für Verbesserung).
Das Potenzgesetz hat eine saubere Eigenschaft: im log-log-Raum wird es zu einer geraden Linie.
ln y = ln a − b · ln x
Steigung der Linie im log-log-Raum: −b. Steilere Steigung = schnelleres Lernen. Der gleiche Exponent b beschreibt die Lerngeschwindigkeit unabhängig vom anfänglichen Leistungsniveau a.
Warum log-log? Frühe Übung bringt große Fortschritte; spätere Übung bringt abnehmende Zuwächse. Ein lineares Diagramm zeigt einen dramatischen anfänglichen Rückgang und dann ein flaches Plateau. Log-log offenbart die selbstähnliche Struktur: jede Verdopplung der Übung reduziert Fehler um den gleichen Bruchteil 2^(−b).
Berechnung der Lerngeschwindigkeit
Wenn ein Lernender bei Versuch 1 100 Fehler macht und bei Versuch 8 50 Fehler, wie groß ist b?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Ebbinghaus & exponentielles Vergessen
Hermann Ebbinghaus (1885) maß seine eigene Behaltensquote von Nonsense-Silben über die Zeit und fand, dass die Behaltensquote einem exponentiellen Verfall folgt:
r(t) = e^(−t/S)
wobei r(t) = Anteil beibehalten zur Zeit t, S = Gedächtnisstärke (nimmt mit jeder Wiederholung zu). Bei t = 0: r = 1 (100% beibehalten). Bei t = S: r = 1/e ≈ 37%.
Der Spacing-Effekt: Material in dem Moment kurz vor dem Vergessen überprüfen (wenn r ≈ 0.8 oder niedriger) führt zu einer größeren Erhöhung von S als unmittelbar nach dem Lernen überprüfen.
Optimale Wiederholungszeitpunkte: Wenn S bei jeder Wiederholung um einen festen Faktor k wächst, bilden die optimalen Abstände eine geometrische Reihe. Nach dem Lernen mit S₀ wiederhole zu den Zeiten S₀, k·S₀, k²·S₀, .... Jedes Intervall ist k-mal länger als das vorherige.
Typische k-Werte aus empirischen Daten: 2.0–2.5. Ein Schüler, der an den Tagen 1, 2, 4, 8, 16 wiederholt, folgt diesem geometrischen Spacing-Muster.
Berechnung optimaler Wiederholungsintervalle
Ein Schüler lernt Material mit anfänglicher Gedächtnisstärke S₀ = 2 Tage. Jede Wiederholung multipliziert S mit k = 2.5. Der Schüler wiederholt kurz bevor die Behaltensquote auf 80% fällt (r ≥ 0.80 Schwelle).
Bei der Schwelle: e^(−t/S) = 0.80, also t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223.
Der Lehrplan als Graph
Ein Verzweigungsprogramm definiert einen gerichteten Graphen G = (V, E), wobei:
- Knoten V: Unterrichtsknoten (Inhaltsblöcke, Fragen, Feedback)
- Kanten E: Übergänge, gekennzeichnet durch Klassifizierungen von Schülerantworten (correct, partial, incorrect, clarification)
Jeder Schüler verfolgt einen Pfad durch G von einem Eingangsknoten zu einem Ausgangsknoten. Der Pfad hängt ganz davon ab, welche Kanten bei jedem Schritt aktiviert werden.
Eigenschaften, die die Graphenstruktur bestimmt:
1. Erreichbarkeit: Kann jeder Knoten vom Eintrag aus erreicht werden? Ein unerreichbarer Knoten ist verborgen Inhalt — der Schüler kann ihn nie sehen.
2. Zyklenerkennung: Enthält der Graph Zyklen? Ein Zyklus bedeutet, dass ein Schüler endlos schleifen kann. Adaptive Programme verwenden Zyklen absichtlich (Wiederholungsschleifen), müssen aber einen eventuellen Ausgang garantieren (eine max-attempts-Kante, die Fortschritt erzwingt).
3. Pfadlängenverteilung: Wie viele Schritte macht der typische Schüler? Ein gutes Verzweigungsprogramm lässt fortgeschrittene Schüler kurze Pfade nehmen; kämpfende Schüler nehmen längere Remedialmaßnahmen-Pfade.
Analyse der Eigenschaften eines Verzweigungsprogramms
Betrachte ein Verzweigungsprogramm mit 5 Frageknoten (Q1–Q5) und 3 Remedialknoten (R1–R3). Ein fortgeschrittener Schülerpfad: Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Ein kämpfender Schülerpfad: Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Der Graph garantiert Fortschritt durch max-attempts-Kanten: Nach 3 fehlgeschlagenen Versuchen bei jedem Qn rückt der Schüler zu Qn+1 vor, unabhängig von der Leistung.