Übung & das Gesetz der Leistungsfähigkeit
Über einen bemerkenswerten Bereich von Fähigkeiten - Tippenschnelligkeit, Lesen, Lösung von arithmetischen Problemen, Zusammenbau von Geräten - verbessert sich die Leistung nach einem Gesetz der Leistungsfähigkeit:
y = a · x^(−b)
wobei y = Fehler pro Versuch (oder Zeit pro Versuch), x = kumulative Übungsversuche, a = Ausgangsleistungsniveau, b = Lernrate-Exponent (b > 0 für Verbesserung).
Das Gesetz der Leistungsfähigkeit hat eine klare Eigenschaft: In der Logarithmenlogarithmen-Raum wird es zu einer geraden Linie.
ln y = ln a − b · ln x
Neigung der Linie im Logarithmenlogarithmen-Raum: −b. Steilere Neigung = schnelleres Lernen. Der gleiche Exponent b beschreibt die Lernrate unabhängig vom Ausgangsleistungsniveau a.
Warum Logarithmenlogarithmen? Frühe Übung führt zu großen Gewinnen; spätere Übung hat abnehmende Renditen. Eine lineare Darstellung zeigt eine dramatische Anfangsabnahme und einen flachen Schwanz. Logarithmenlogarithmen zeigt die selbstähnliche Struktur: Jede Verdoppelung der Übung reduziert die Fehler um den gleichen Bruchteil 2^(−b).
Berechnung der Lernrate
Wenn ein Lernender 100 Fehler auf Versuch 1 und 50 Fehler auf Versuch 8 macht, was ist b?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Ebbinghaus & exponentielle Vergessenheit
Hermann Ebbinghaus (1885) maß seine eigene Erinnerung an sinnlose Silben über die Zeit und fand, dass die Erinnerung einem exponentiellen Abbau folgt:
r(t) = e^(-t/S)
wobei r(t) = Bruch, der bei Zeit t erinnert wird, S = Erinnerungsstärke (steigt mit jeder Überprüfung). Bei t = 0: r = 1 (100% erinnert). Bei t = S: r = 1/e ≈ 37%.
Der Spacing-Effekt: Überprüfung von Material bei dem Moment der nahezu Vergesslichkeit (wenn r ≈ 0,8 oder niedriger) erzeugt einen größeren Anstieg der Erinnerungsstärke als die Überprüfung unmittelbar nach dem Erlernen.
Optimale Überprüfungzeit: Wenn die Erinnerungsstärke bei jeder Überprüfung um einen festen Faktor k wächst, bilden sich die optimalen Intervalle zu einer geometrischen Folge. Nach dem Erlernen mit S₀ wird überprüft, wenn die Zeit S₀, k·S₀, k²·S₀, ... verstrichen ist. Jedes Intervall ist k-mal länger als das vorherige.
Typische k-Werte aus empirischen Daten: 2,0-2,5. Ein Schüler, der sich an Tagen 1, 2, 4, 8, 16 wiederholt, folgt diesem geometrischen Spacing-Muster.
Berechnung optimaler Wiederholungsintervalle
Ein Schüler lernt Material mit einer ursprünglichen Erinnerungsstärke S₀ = 2 Tage. Jede Wiederholung multipliziert S um den Faktor k = 2,5. Der Schüler wiederholt das Material kurz vor der Abfallgrenze der Erinnerung auf 80% (r ≥ 0,80-Schwellenwert).
An der Schwellenwert: e^(-t/S) = 0,80, also t = -S · ln(0,80) ≈ S · 0,223.
Das Curriculum als Graph
Ein branchender Algorithmus definiert einen gerichteten Graphen G = (V, E) wo:
- Knoten V: Lehrinhalte (Inhalte, Fragen, Feedback)
- Kanten E: Übergänge, die von der Klassifikation der Schülerantworten (korrekt, teilweise, falsch, Klarstellung) beschriftet sind
Jeder Schüler zieht eine Pfad durch G von einem Eingangsknoten zu einem Ausgangsknoten. Der Pfad hängt vollständig von den bei jedem Schritt aktivierten Kanten ab.
Eigenschaften, die die Graphenstruktur bestimmen:
1. Erreichbarkeit: Kann jeder Knoten vom Eingangsknoten erreicht werden? Ein unerreichbarer Knoten ist tot - der Schüler kann ihn nie sehen.
2. Detektion von Schleifen: Enthält der Graph Schleifen? Eine Schleife bedeutet, dass ein Schüler sich unbefristet wiederholen kann. Adaptive Programme verwenden Schleifen absichtlich (Wiederholungsschleifen), müssen aber eine endgültige Ausgangsschleife garantieren (eine max-attempts-Kante, die die Fortschritte zwingt).
3. Verteilung der Pfadlänge: Wie viele Schritte dauert der typische Schüler? Ein gutes branchendes Programm lässt fortschrittlichere Schüler kurze Wege gehen; Schüler, die Schwierigkeiten haben, nehmen längere Reparaturwege.
Analyse der Eigenschaften eines branchenden Programms
Ein branchendes Programm mit 5 Fragenknoten (Q1-Q5) und 3 Reparaturknoten (R1-R3). Ein fortschrittlicher Schülerpfad: Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Ein Schüler, der Schwierigkeiten hat, pfad: Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Der Graph garantiert Fortschritte über max-attempts-Kanten: Nach 3 fehlgeschlagenen Versuchen bei jeder Qn kommt der Schüler zu Qn+1, unabhängig von der Leistung.