Thực hành & Quy luật lũy thừa
Trên một phạm vi đáng kể của các kỹ năng — gõ chữ, đọc, giải các bài toán số học, lắp ráp thiết bị — hiệu suất cải thiện theo quy luật lũy thừa:
y = a · x^(−b)
trong đó y = lỗi trên mỗi lần thử (hoặc thời gian trên mỗi lần thử), x = tổng số lần thử thực hành tích lũy, a = mức hiệu suất ban đầu, b = số mũ tốc độ học (b > 0 cho sự cải thiện).
Quy luật lũy thừa có một tính chất rõ ràng: trong không gian log-log, nó trở thành một đường thẳng.
ln y = ln a − b · ln x
Độ dốc của đường thẳng trong không gian log-log: −b. Độ dốc càng dốc = học nhanh hơn. Cùng một số mũ b mô tả tốc độ học bất kể mức hiệu suất ban đầu a là bao nhiêu.
Tại sao log-log? Thực hành sớm tạo ra những lợi ích lớn; thực hành sau này tạo ra lợi ích giảm dần. Một biểu đồ tuyến tính cho thấy một sự giảm dốc ban đầu lớn rồi một phần đuôi phẳng. Log-log tiết lộ cấu trúc tự tương tự: mỗi lần nhân đôi thực hành làm giảm lỗi theo cùng một phần số 2^(−b).
Tính toán tốc độ học tập
Nếu một người học làm 100 lỗi ở lần thử 1 và 50 lỗi ở lần thử 8, b là bao nhiêu?
y₁ = a · 1^(−b) = a = 100
y₈ = a · 8^(−b) = 100 · 8^(−b) = 50
8^(−b) = 0.5 → −b · ln(8) = ln(0.5) = −0.693 → b = 0.693 / ln(8) = 0.693 / 2.079 ≈ 0.333
Ebbinghaus & Quên lãng theo hàm mũ
Hermann Ebbinghaus (1885) đã đo lường khả năng ghi nhớ của chính mình đối với các âm tiết vô nghĩa qua thời gian và phát hiện ra rằng khả năng ghi nhớ tuân theo sự suy giảm theo hàm mũ:
r(t) = e^(−t/S)
trong đó r(t) = phần được ghi nhớ tại thời gian t, S = sức mạnh ký ức (tăng với mỗi lần ôn tập). Tại t = 0: r = 1 (ghi nhớ 100%). Tại t = S: r = 1/e ≈ 37%.
Hiệu ứng khoảng cách: ôn tập tài liệu tại thời điểm gần quên (khi r ≈ 0.8 hoặc thấp hơn) tạo ra sự gia tăng lớn hơn trong S so với ôn tập ngay sau khi học.
Thời gian ôn tập tối ưu: nếu S tăng một hệ số cố định k với mỗi lần ôn tập, các khoảng tối ưu tạo thành một chuỗi hình học. Sau khi học với S₀, ôn tập lại tại các thời điểm S₀, k·S₀, k²·S₀, .... Mỗi khoảng là k lần dài hơn khoảng trước đó.
Các giá trị k điển hình từ dữ liệu thực nghiệm: 2.0–2.5. Một sinh viên ôn tập vào các ngày 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo mô hình khoảng cách hình học này.
Tính toán khoảng cách ôn tập tối ưu
Một sinh viên học tài liệu với sức mạnh ký ức ban đầu S₀ = 2 ngày. Mỗi lần ôn tập nhân S với k = 2.5. Sinh viên ôn tập ngay trước khi khả năng ghi nhớ giảm xuống 80% (r ≥ 0.80 ngưỡng).
Tại ngưỡng: e^(−t/S) = 0.80, vì vậy t = −S · ln(0.80) ≈ S · 0.223.
Chương trình học như một đồ thị
Một chương trình phân nhánh định nghĩa một đồ thị có hướng G = (V, E) trong đó:
- Đỉnh V: các nút hướng dẫn (khối nội dung, câu hỏi, phản hồi)
- Cạnh E: chuyển tiếp được dán nhãn bằng các phân loại phản hồi của sinh viên (đúng, một phần, không đúng, làm rõ)
Mỗi sinh viên theo dõi một đường dẫn qua G từ một đỉnh vào đến một đỉnh thoát. Đường dẫn hoàn toàn phụ thuộc vào các cạnh nào kích hoạt ở mỗi bước.
Các tính chất mà cấu trúc đồ thị xác định:
1. Khả năng tiếp cận: mọi đỉnh có thể được tiếp cận từ mục nhập không? Một đỉnh không thể tiếp cận là nội dung chết — sinh viên không bao giờ có thể nhìn thấy nó.
2. Phát hiện chu kỳ: đồ thị có chứa chu kỳ không? Một chu kỳ có nghĩa là một sinh viên có thể lặp vô hạn. Các chương trình thích ứng sử dụng chu kỳ một cách có ý (vòng thử lại) nhưng phải đảm bảo thoát cuối cùng (một cạnh cố gắng tối đa buộc tiến bộ).
3. Phân bố độ dài đường dẫn: sinh viên điển hình thực hiện bao nhiêu bước? Một chương trình phân nhánh tốt cho phép sinh viên nâng cao thực hiện các đường dẫn ngắn; sinh viên gặp khó khăn thực hiện các đường dẫn sửa chữa dài hơn.
Phân tích các tính chất của chương trình phân nhánh
Hãy xem xét một chương trình phân nhánh với 5 nút câu hỏi (Q1–Q5) và 3 nút sửa chữa (R1–R3). Một đường dẫn sinh viên nâng cao: Q1 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5. Một đường dẫn sinh viên gặp khó khăn: Q1 → R1 → Q1 → Q2 → R2 → Q2 → Q3 → Q4 → Q5.
Đồ thị đảm bảo tiến bộ thông qua các cạnh cố gắng tối đa: sau 3 lần thất bại ở bất kỳ Qn nào, sinh viên tiến lên Qn+1 bất kể hiệu suất.