立方體利用率與箱子裝載

堆放：每個預告車中的 3D 幾何

北美標準托盤是 48 英寸乘 40 英寸（GMA 托盤）。這是物流幾何的基本單位。

立方體利用率衡量你對空間的填充效率：實際產品體積除以可用體積。一個按重量裝滿但按體積只有一半的預告車立方體利用率很差。一個堆至天花板的預告車有很好的立方體利用率。

垂直堆放：每層相同，箱子直接堆疊。結構強度弱但空間利用效率高。

交錯堆放（風車式）：交替層旋轉 90 度。結構穩定性更高但在邊緣產生空隙，浪費 5-15% 的托盤面積。

集裝箱裝載是真正的幾何挑戰：將各種尺寸的矩形箱子裝入 40 英尺集裝箱（內部尺寸約 39'5" × 7'8" × 7'10"）。這是3D 箱子裝載：計算機科學中經典的 NP 難問題之一。沒有算法能保證在合理時間內找到大規模實例的最優解。

在實踐中，物流公司使用啟發式方法：先裝最大的物品，先填充底層面積再堆高，按目的地分組以便卸貨效率。

托盤裝載效率

你需要將長 12 英寸、寬 10 英寸、高 8 英寸的箱子裝上標準 48" × 40" 托盤。最大堆放高度是 48 英寸。

為什麼路線優化會變得困難

旅行商問題 (TSP)

假設你必須訪問 10 個客戶然後回到倉庫。最短路線是什麼？這是旅行商問題：數學和計算機科學中研究最廣泛的問題之一。

難度來自組合爆炸。對於 N 個站點，有 (N-1)!/2 條不同的路線（除以 2 是因為順時針和逆時針距離相同）。

- 5 個站點：12 條路線：計算機能在毫秒內全部檢查

- 10 個站點：181,440 條路線：仍可管理

- 15 個站點：43.6 十億條路線：需要數小時

- 20 個站點：60.8 四十萬億條路線：需要數個世紀

- 50 個站點：比可觀察宇宙中的原子更多的路線

TSP 是 NP 難的：沒有已知算法能在多項式時間內解決它。隨著 N 增長，精確解變得不可能，我們必須使用啟發式方法：快速找到好（但不保證最優）解的算法。

常用啟發式方法：

- 最近鄰域：從目前位置，總是去最近的未訪問站點。快速但經常產生有醜陋交叉的路線。

- 凸包插入：從最外層的站點開始（凸包：幾何邊界）。然後每次插入一個內部站點，選擇增加距離最少的位置。

- 2-opt 改進：取一條完成的路線並嘗試交換邊對。如果移除兩條邊並以不同方式重新連接能使路線更短，保留交換。重複直到無法改進。

啟發式方法 vs 精確解

一個快遞公司今天有 12 個站點。司機使用最近鄰域啟發式：在每個點，開往最近的未訪問站點。

分區、密度和車輛路線問題

最後一英里：幾何遇見經濟學

最後一英里：從配送中心到客戶門口：占總運輸成本的 40-50%。它是供應鏈中幾何限制最多的部分。

從倉庫輻射路線：快遞車從中央配送中心輻射散開。每輛車的路線應該覆蓋一個緊密的地理區域：沒有兩輛車應該交叉進入彼此的領地。

配送密度決定了一切。在密集的城市區域，一輛車在 8 小時班次內可能進行 150 次配送。在鄉村地區，同一輛車可能只能完成 20-30 次。幾何原因：城市站點彼此接近（站點間短驅動），而鄉村站點距離遠。

基於分區的路線規劃將服務區域分成地理集群。每個分區分配給一輛車。好的分區是緊湊的（大致圓形或正方形）& 連續的（無間隙或孤立的口袋）。目標：在保持每條路線在時間/容量限制內的同時最小化總距離。

車輛路線問題 (VRP) 將 TSP 推廣到多輛車。給定一個倉庫、N 個客戶 & K 輛卡車（每輛都有容量與時間限制），將客戶分配給卡車並依次排列每輛卡車的路線以最小化總距離。VRP 也是 NP 難的。

一個設計良好的分區圖創建的路線中每個司機的路徑形成一個緊密的幾何形狀：一個大致圓形或從倉庫向外延伸的葉片形。如果你看到一條路線自身交叉或與另一個司機的分區重疊，路線規劃是低效的。

分區設計

一個快遞公司從市中心的倉庫運營。他們有 4 名司機和 200 個配送點分散在大致圓形的服務區域，半徑為 10 英里。