形式證明作為路徑
一個形式證明系統定義了一套公理和推理規則。每一個定理證明的程序都在這個系統中作為一個搜索問題進行：從給定的前提開始，應用推理規則生成新的陳述，直到達到目標。
將其表示為一個有向圖：
節點：形式系統中的合理陳述。
邊：單個推理規則的應用（模擬推理、SAS一致性等）。
證明：從給定的前提到所需結論的有向路徑。
證明長度：路徑中推理步驟的數量。
一個定理的最短證明對應於這個圖中前提節點和結論節點之間的最短路徑。
證明程序通過：（1）直接應用規則；（2）如果卡住，引入輔助構造（這將添加新的節點到搜索中）。該程序通過完全避免輔助構造找到自我一致性證明——一個更短的路徑存在，古典方法忽略了它。
證明長度與證明搜索
證明搜索面臨著與遊戲樹搜索相同的指數增長。每個節點的分支因數等於適用推理規則的數量。證明深度隨著定理複雜性而增加。
定理證明程序使用他uristic來修剪證明空間，類似於在遊戲中使用alpha-beta pruning。
點、線與對偶性
幾何程序的自我對稱性證明等邊三角形定理使用了一個不出現在古典歐幾里得證明中的觀點。洞見：不需要將三角形ABC與一個構建的第二個三角形進行比較，而是將ABC與基礎頂點互換後的自身進行比較——對應A↔A，B↔C，C↔B。
這是一個幾何對稱性推理：等邊三角形在頂點的高上對稱反射。程序沒有直接構建反射，而是使用對應作為一個概括。
這背後的通用原則是射影對偶性：在射影平面中，每個關於點與線的定理都有一個對偶定理，通過將‘點’和‘線’的話語互換而得到。
對偶性字典：
- 點 ↔ 線
- 點在線上 ↔ 線通過點
- 兩個點確定一個唯一的線 ↔ 兩條線確定一個唯一的點
- 直線上的點 ↔ 互相交的線
一個關於點的定理的單一證明自動產生關於線的對偶定理的證明——兩者之間互相對應。這兩個證明具有相同的結構、相同的長度和相同的推理步驟。找到對偶觀點往往會揭示出原來的證明更簡單。
應用對偶性
德薩格斯定理：如果從一個點將兩個三角形投影到同一個點（通過對應頂點的三條線在一個點相交），則它們將從一條線投影到同一條線（對應的三條線相交的點都在同一條線上）。
這個定理是自對偶的：將點和線互換，給出的定理陳述完全相同。
Sampling Rate & Frequency Space
貝爾實驗室的電腦音樂系統建立在一個數學定理之上：Nyquist-Shannon取樣定理。
Statement：帶限頻率信號最高頻率為f_max，可以從每秒取樣率至少為2 × f_max的樣本中完美重建。
幾何解釋：帶限頻率信號在所有連續函數空間的有限維子空間中生活。以2f_max的速率取樣提供足夠的坐標來唯一確定該子空間中的點。
Aliasing: The Geometry of Sampling Failure
在 Nyquist 速率以下，频率高于 f_max 的频率会产生别名——它们在采样后的信号中以较低的频率出现。两个不同的信号在采样后将无法区分。几何上：采样操作将信号空间投影到一个低维空间中，使不同信号发生碰撞。
对于数字音频（CD 质量）：f_max = 22,050 Hz（略高于 20,000 Hz的人类听觉限制），采样率 = 44,100 个样本/秒。对于电话：f_max = 4,000 Hz，采样率 = 8,000 个样本/秒。
Nyquist 速率计算
Nyquist 定理确定了避免信息丢失所需的最小采样率。
证明空间与信号空间：共享几何
证明为路径和 Nyquist 采样定理共享相同的几何结构：两者都涉及将复杂的事物的最小表示进行找到。
證明最小化：尋找從前提到結論的證明圖中最短路徑（最少推理步驟）。自我一致性證明通過利用對稱性最小化了路徑長度。
信號採樣：尋找保留帶限信號所有信息所需的最少樣本數（最低採樣率）。Nyquist定理通過利用頻帶限制來最小化表示。
這兩個問題都存在具有結構的空間，這使得最小表示結果成為可能。當該結構失效時，這兩個問題都會失敗：證明的長度變長時，當軌域不良時；當信號未被帶限時，將發生抖動。